$7)$

$a)\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8(cm)$

$b)A$ là trung điểm $BD$

$AC \perp BD$

$\Rightarrow AC$ là trung trực $BD$

$\Rightarrow CB=CD$

$\Rightarrow \Delta BCD$ cân tại $C$

$c)\Delta BCD$ có trung tuyến $DA, CA$ cắt nhau tại $M$

$\Rightarrow MC=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{16}{3}(cm)$

$d)$Gọi $E$ là trung điểm $AC$

$EQ$ là trung trực $AC$

$\Rightarrow EQ \perp AC\\ AD \perp AC\\ \Rightarrow EQ//AD$

Mà $E$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow Q$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow BQ$ là trung tuyến $\Delta BCD$

$\Rightarrow B,M,Q$ thẳng hàng

$8)$

$a)\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=5(cm)$

$b)$Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$

$BD$:chung

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o\\ \widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD\\ c)\Delta ABD = \Delta EBD\\ \Rightarrow AB=EB;AD=ED$

$\Rightarrow BD$ là trung trực $AE$

$\Rightarrow BD \perp AE$

$9)$

$a)\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=13(cm)$

$b)$Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$

$AC:$chung

$\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^o\\ AB=AD\\ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC\\ c)AE//BC$

Mà $A$ là trung điểm $BD$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $CD$

$\Delta ABC = \Delta ADC\\ \Rightarrow CB=CD$

$\Rightarrow \Delta BCD$ cân tại $C$

$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CDB}(1)\\ AE//BC\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{CBD}(2)\\ (1)(2)\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{CDB}$

$\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $E$

$\Rightarrow AE=DE$

Mà $DE=EC$

$\Rightarrow AE=EC$

$\Rightarrow \Delta AEC$ cân tại $E$

$d)CA,DF,BE$ là $3$ đường trung tuyến của $\Delta BCD$ nên đồng quy