Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) $∠BOP = ∠AOC (1)$( đối đỉnh)

$∠OBP = ∠OAC(2)$ (cùng chắn cung $CP$ của đường tròn $(ABC)$)

$ (1); (2) ⇒ ΔOBP ≈ ΔOAC (g.g) (đpcm)$

$ ∠CEK = ∠CBD $ (cùng chắn cung $CD$ của đường tròn $(O)$)

$ = ∠CPK $(cùng chắn cung $CA$ của đường tròn $(ABC)$)

$ ⇒ P; E; C; K $ cùng thuộc một đường tròn.

2) $PEKC nt ⇒ ΔACP ≈ ΔAKE(g.g) $ (chung góc $A$)

$ ⇒ \dfrac{AK}{AE} = \dfrac{AC}{AP} ⇔ AK.AP = AE.AC$ 

3) Theo câu 1)

$ ΔOBP ≈ ΔOAC ⇔ \dfrac{OP}{OB} = \dfrac{OC}{OA} $

$ ⇔ OP = \dfrac{OC.OB}{OA} = \dfrac{R.R}{2R} = \dfrac{R}{2}$

$ ⇒ AP = OA + OP = 2R + \dfrac{R}{2} = \dfrac{5R}{2} ⇒ P$ cố định.

Đường thẳng $OA$ cắt $(O)$ tại $M; N$

Chứng minh tương tự câu $2 ⇒ AM.AN = AE.AC$

mà theo câu 2) $AK.AP = AE.AC $

$ ⇒ AK.AP = AM.AN ⇒  AK = \dfrac{OM.ON}{OP} = R.3R$

$ = \dfrac{R.3R}{\dfrac{5R}{2}} = \dfrac{6R}{5} ⇒ K $ cố định

Hay $DE$ luôn đi qua $K$ cố định

4) $OA$ cắt đường tròn $(ADE)$ tại $F$

Chứng mình tương tự câu 2)ta có:

$ FK.AK = DK.EK = MK.NK$ ( không đổi)$ ⇒ F$ cố định

Vẽ $BH⊥OA$ tại $H ⇒ BH ≤ OB = R$

Ta có $ S_{ABPC} = 2S_{ABP} = AP.BH ≤ \dfrac{5R}{2}.R = \dfrac{5R²}{2} $

$ ⇒ S_{ABPC} = \dfrac{5R²}{2} ⇔ BH = R ⇔ BC⊥OA$

Nè