a)

Vì $AB,AC$ lần lượt là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90{}^\circ $

$H$ là trung điểm của dây cung $EF$

$\to OH\bot EF$

$\to \widehat{AHO}=90{}^\circ $

$\Delta ABO$ vuông tại $B$

$\to A,B,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AO$

$\Delta ACO$ vuông tại $C$

$\to A,C,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AO$

$\Delta AHO$ vuông tại $H$

$\to A,H,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AO$

Vậy $5$ điểm $A,B,C,H,O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AO$

b)

$\begin{cases}AB=AC\\OB=OC\end{cases}\to\,\,\,\,\,AO$ là đường trung trực của $BC$$\to \widehat{BAO}=\widehat{CAO}$

Xét $\Delta AOI$ vuông tại $O$ và $\Delta AOJ$ vuông tại $O$, có:

$AO$ là cạnh chung

$\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$

$\to \Delta AOI=\Delta AOJ$

$\to {{S}_{\Delta AOI}}={{S}_{\Delta AOJ}}$

Mà ${{S}_{\Delta AIJ}}={{S}_{\Delta AOI}}+{{S}_{\Delta AOJ}}$

Nên ${{S}_{\Delta AIJ}}=2\Delta {{S}_{\Delta AOI}}=2.\dfrac{1}{2}OB.AI=OB.AI$

$\Delta ABO$ vuông tại $B$

$\to AB=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{B}^{2}}}$

$\to AB=\sqrt{4{{R}^{2}}-{{R}^{2}}}$

$\to AB=R\sqrt{3}$

$\Delta AOI$ vuông tại $O$ có $OB$ là đường cao

$\to O{{A}^{2}}=AB.AI$ ( hệ thức lượng )

$\to AI=\dfrac{O{{A}^{2}}}{AB}=\dfrac{4{{R}^{2}}}{R\sqrt{3}}=\dfrac{4R\sqrt{3}}{3}$

${{S}_{\Delta AIJ}}=OB.AI=R.\dfrac{4R\sqrt{3}}{3}=\dfrac{4{{R}^{2}}\sqrt{3}}{3}$

Chu vi $\Delta APQ=AP+AQ+PQ$

Chu vi $\Delta APQ=AP+AQ+EP+EQ$

Mà $\begin{cases}EP=BP\\EQ=CQ\end{cases}$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )

Chu vi $\Delta APQ=AP+AQ+BP+CQ$

Chu vi $\Delta APQ=\left( AP+BP \right)+\left( PQ+CQ \right)$

Chu vi $\Delta APQ=AB+AC$

Chu vi $\Delta APQ=2AB$

Chu vi $\Delta APQ=2R\sqrt{3}$