Đáp án:

Tham khảo ._. 

Giải thích các bước giải:

`a)`

`ΔABC` cân tại `A``=> AB=AC ; \hat{ABC}=\hat{ACB}`

Lại có : `\hat{ABC}=\hat{HBD}, \hat{ACB}=\hat{KCE}` (góc đối đỉnh)

`⇒ \hat{HBD}=\hat{KCE} `

Xét `ΔBHD` và `ΔCKE` có :

`BD=CE`$ (gt) $

`\hat{HBD}=\hat{KCE}` `(cmt)`

`\hat{DHB}=\hat{EKC}=90^0`$ (gt) $

`=> ΔBHD=ΔCKE(ch-gn)`

`=> BH=CK`

`b)`

Xét `ΔABH` và `ΔACK` có :

`AB=AC` $(gt)$

`\hat{ABH}=\hat{ACK}` (cùng bù với `\hat{ABC}` và `\hat{ACB}`)

`BH=CK` `(cmt)`

`=> ΔABH=ΔACK (c-g-c)`

`=> \hat{AHB}=\hat{AKC}, \hat{BAH}=\hat{CAK}` 

`c)`

`ΔABC` cân tại `A` 

`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}={180^o-\hat{BAC}}/2`

Ta có: `AB=AC ; BD=CE`

`=> AB+BD=AC+CE`

`=> AD=AE`

`=> ΔADE` cân tại `A`

`=> \hat{ADE}=\hat{AED}={180^o-\hat{BAC}}/2`

Có: `\hat{ADE}=\hat{ABC}, \hat{ACB}=\hat{AED}={180^0-\hat{CAB}}/2`

Mà `2` góc đó ở vị trí đồng vị

`=>` $BC//ED$

`=>` $HK//ED$

`d)`

Có `\hat{BAH}=\hat{CAK}``(cmt)`

`=> \hat{BAH}+\hat{BAE}=\hat{CAK}+\hat{BAE}`

`=> \hat{HAE}=\hat{KAD}`

Xét `ΔAHE` và `ΔAKD` có:

`AH=AK` (do `ΔABH=ΔACK`)

`\hat{HAE}=\hat{KAD}` `(cmt)`

`AD=AE` `(cmt)`

`=> ΔAHE=ΔAKD(c-g-c)`

`e)`

Có: `ΔAHE=ΔAKD``(cmt)`

`=> \hat{AEH}=\hat{ADK}` (`2` góc tương ứng)

Mà : ` \hat{HDB}=\hat{KEC}``(cmt)`

`=> \hat{AEH}+ \hat{KEC}=\hat{ADK}+\hat{HDB}`

`=> \hat{HDI}=\hat{KEI}`

Mặt khác : `HD⊥BC, EK⊥BC`

`=>` $HD//EK$

`=> \hat{HDI}=\hat{IKE}` (`2` góc slt)

`=> \hat{DHI}=\hat{IEK}` (`2` góc slt)

`=> \hat{HDI}=\hat{KEI}=\hat{IKE}=\hat{DHI}`

`=> ΔHID` cân tại `I`, `ΔKIE` cân tại `I`

`=> HI=ID, IK=IE`

Xét `ΔHID` và `ΔEIK` có:

`\hat{HDI}=\hat{IKE}` `(cmt)`

`HD=EK` `(cmt)`

`\hat{DHI}=\hat{IEK}``(cmt)`

`=> ΔHID =ΔEIK (g-c-g)`

`=> ID=IK,  IH=IE` (`2` cạnh tương ứng)

Lại có: `HI=ID, IK=IE``(cmt)`

`=> ID=IK=IH=IE`

`=> ΔIED` cân tại `I` `=> ID=IE`

`=> I` thuộc đường trung trực của `DE`

Lại có : `AD=AE` (`ΔADE` cân tại `A``(cmt)`)

`=> A` thuộc đường trung trực của `DE`

`=> AI` là đường trung trực của `DE`

`=> AI ⊥DE`

Bài 5: 

a. 

+ Ta có: $\widehat{A_{1}} = \widehat{B_{2}}$ (đối đỉnh).

$\widehat{C_{1}} = \widehat{C_{2}}$ (đối đỉnh).

+ Mà: $\widehat{B_{1}} = \widehat{ _{1}}$ ($∆ABC$ cân tại $A$).

$⇒ \widehat{B_{2}} = \widehat{ C_{2}}$.

+ Xét $∆BDH$ vuông tại $H$ và $∆CEK$ vuông tại $K$, ta có: 

$\left \{ {{\widehat{B_{2}} = \widehat{ C_{2} \ (cmt)}} \atop {BD = CE \ (gt)}} \right.$

$⇒ ∆BDH = ∆CEK$ (cạnh huyền - góc nhọn).

$⇒ HB= CK$.

b. 

+ Ta có: $\left \{ {{\widehat{B_{3}} + \widehat{ C_{1}} = 180° \ (kề \ bù) } \atop {\widehat{C_{3}} + \widehat{ C_{1}} = 180° \ (kề \ bù)}} \right.$ 

+ Mà: $\widehat{B_{1}} = \widehat{ C_{1}}$ (cmt).

$⇒ \widehat{B_{3}} = \widehat{ C_{3}}$.

+ Xét $∆ABH$ và $∆ACK$, ta có: 

$\left\{ \begin{array}x AB = AC \ (cmt) \\ \widehat{B_{3}} = \widehat{ C_{3}} \ (cmt) \\ HB = CK \ (cmt) \\ \end{array} \right.$ $⇒ ∆AHB = ∆ACK$ (c.g.c).

$⇒ \widehat{AHB} = \widehat{AKC}$.

c. 

+ Ta có: $\left \{ {{HD = BC} \atop {EK ⊥ BC}} \right.$ $⇒ HD // KE$.

$⇒ \widehat{KDH} = \widehat{KDE}$ (so le trong).

+ Xét $∆DHK$ và $∆KED$, ta có: 

$KD$: cạnh chung.

$\widehat{KDH} = \widehat{DKE} (cmt).

$HB = KE$ ($∆BDH = ∆CEK$).

$⇒ ∆DHK = ∆KED$ (c.g.c).

$⇒ \widehat{DKH}$ = \widehat{KDE}$ (2 góc ở vị trí so le trong).

$⇒ KH // DE$.

d. 

+ Ta có: $\widehat{HAB} + \widehat{BAE} = \widehat{HAE}$.

 $\widehat{KAC} + \widehat{BAE} = \widehat{DAK}$ .

+ Mà: $\widehat{HAB} = \widehat{KAC}$. 

$⇒ \widehat{HAE} = \widehat{DAK}$.

+ Xét $∆AHE$ và $∆DAK$, ta có: 

$\left\{ \begin{array}x AH = AE \ (cmt) \\ AE = AD \ (cmt) \\ \widehat{HAE} = \widehat{DAK} \ (cmt) \\ \end{array} \right.$ $⇒ ∆AHE = ∆DAK$ (c.g.c).

e. 

+ Gọi $M$ là trung điểm $BC$ $⇒ MB = MC$.

+ Xét $∆ABM$ và $∆ACN$, ta có:

$\left\{ \begin{array}x MB = MC \\ \widehat{B} = \widehat{C} \\ AB = AC \\ \end{array} \right.$ $⇒ ∆ABM = ∆ACN$ (c.g.c).

$⇒ \widehat{AMB} = \widehat{AMC} = \frac {180°}{2} = 90°$.

$AM ⊥ BC$ hay $AM ⊥ HK$.

+ Mà: $HK // DE$ $⇒ AM ⊥ DE$.

$⇒ AI ⊥ DE$.

XIN HAY NHẤT. CHÚC EM HỌC TỐT.