Sửa đề: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100$

$\to BC=10cm$

b)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta AMC$ vuông tại $A$, ta có:

+   $AB=AM\left( gt \right)$

+   $AC$ là cạnh chung

$\to \Delta ABC=\Delta AMC\left( cgv-cgv \right)$

$\to \widehat{ACB}=\widehat{ACM}$ (hai góc tương ứng)

$\to CA$ là phân giác $\widehat{BCM}$

c)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ và $\Delta AKC$ vuông tại $K$, ta có:

+   $AC$ là cạnh chung

+   $\widehat{ACH}=\widehat{ACK}$ (vì $CA$ là phân giác)

$\to \Delta AHC=\Delta AKC\left( ch-gn \right)$

$\to CH=CK$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta CHK$ cân tại $C$

$\to \widehat{CHK}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{MCB}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $CB=CM$ (vì $\Delta ABC=\Delta AMC$)

$\to \Delta CBM$ cân tại $C$

$\to \widehat{CBM}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{MCB}}{2}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\to \widehat{CHK}=\widehat{CBM}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Vậy$HK//BM$

d)

Xét $\Delta CIK$ và $\Delta CIH$, ta có:

+   $CI$ là cạnh chung

+   $\widehat{ICK}=\widehat{ICH}$  (vì $CA$ là phân giác)

+   $CK=CH\left( cmt \right)$

$\to \Delta CIK=\Delta CIH\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{CIK}=\widehat{CIH}$ và $IK=IH$

Mà $\widehat{CIK}+\widehat{CIH}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

$\to \widehat{CIK}=\widehat{CIH}=\dfrac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

$\to AC\bot HK$ tại $I$ là trung điểm của $HK$

$\to AC$ là đường trung trực của $HK$