Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đặt vế trái của BĐT là P

Ta có: $a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)} \leq \dfrac{a}{2}(b^2+2)$

Tương tự và cộng lại:

$P \leq \dfrac{1}{2}(ab^2+bc^2+cd^2+da^2)+a+b+c+d$

$P \leq \dfrac{1}{2}Q+3$ với $Q=ab^2+bc^2+cd^2+da^2$

Xét $Q=ab^2+bc^2+cd^2+da^2$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b=max\{a;b;c;d\}$

$Q=ab^2+b(c+d)^2+(c+d)a^2+ca^2+2bcd+d^2(b-c) \leq ab^2+b(c+d)^2+(c+d)a^2$

Đặt $(a;b;c+d)=(x;y;z) \Rightarrow \begin{cases}x+y+z=3\\Q \leq xy^2+yz^2+zx^2 \end{cases}$

Một bài toán quen thuộc rồi:

Không mất tính tổng quát, giả sử $y=mid\{x;y;z\}$

$⇒(x-y)(y-z) \geq 0 ⇔xy+yz \geq y^2+zx$

$⇒x^2y+xyz \geq xy^2+zx^2$

$⇒Q \leq x^2y+yz^2+xyz \leq x^2y+yz^2+2xyz$

$⇒Q \leq y(x^2+2zx+z^2)=y(x+z)^2=\dfrac{1}{2}.2y(x+z)(x+z)$

$⇒Q \leq \dfrac{1}{27}\left(2y+x+z+x+z \right)^3=4$

Vậy $P \leq \dfrac{1}{2}Q+3 \leq 2+3=5$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c;d)=(1;2;0;0)$ và 1 số hoán vị của chúng (không phải toàn bộ các hoán vị)