Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to BF\perp FA$

Mà $HK\perp AB$

$\to \widehat{BFE}=\widehat{BHE}=90^o$ 

$\to BEFH$ nội tiếp đường tròn đường kính $BE$

2.Ta có $EH\perp AB, AC\perp EB, EH\cap AC=I$

$\to I$ là trực tâm $\Delta EAB\to BI\perp AE$

Mà $BF\perp AE\to B,I,F$ thẳng hàng

Xét $\Delta ECA,\Delta EFB$ có:

Chung $\hat E$

$\widehat{ECA}=\widehat{AFB}=90^o$

$\to\Delta ECA\sim\Delta EFB(g.g)$

$\to \dfrac{EC}{EF}=\dfrac{EA}{EB}$

$\to EC.EB=EF.EA$

3.Ta có $H$ là trung điểm $OA\to HK\perp AO=H$ là trung điểm $OA$

$\to HK$ là trung trực của $OA$

$\to KA=KO=R$

Vì $CD\perp AB=O\to ACBD$ là hình vuông
$\to AC=CB=BD=DA=R\sqrt{2}$

Ta có $H$ là trung điểm $AO\to HA=HO=\dfrac12AO=\dfrac12R$

$\to HD=\sqrt{OH^2+OD^2}=\dfrac{R\sqrt{5}}{2}$

Xét $\Delta DHO,\Delta DFC$ có:
Chung $\hat D$

$\widehat{DOH}=\widehat{DFC}=90^o$

$\to\Delta DOH\sim\Delta DFC(g.g)$

$\to \dfrac{OH}{FC}=\dfrac{DH}{DC}$

$\to FC=\dfrac{OH\cdot DC}{DH}=\dfrac{\dfrac12R\cdot 2R}{\dfrac{R\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2R\sqrt{5}}{5}$

Ta có $IH//CO(\perp BA)$

         $H$ là trung điểm $AO$

$\to HI$ là đường trung bình $\Delta CAO\to I$ là trung điểm $AC$

$\to IA=IC=\dfrac12AC=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$

Mà $\widehat{ECI}=90^o,\widehat{CEI}=90^o-\widehat{CBA}=45^o$

$\to\Delta ECI$ vuông cân tại $C$

$\to CE=CI=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$

Lại có $\widehat{EHB}=90^o,\widehat{HBE}=45^o\to\Delta EHB$ vuông cân tại $H$

$\to HE=HB=HO+OB=\dfrac32R$

$\to S_{EAB}=\dfrac12EH\cdot AB=\dfrac32R^2$

Ta có $\widehat{EFC}=\widehat{EBA},\widehat{ECF}=\widehat{EAB}$ vì $ABCF$ nội tiếp
$\to\Delta EFC\sim\Delta EBA(g.g)$

$\to \dfrac{S_{EFC}}{S_{EBA}}=(\dfrac{FC}{AB})^2=\dfrac15$

$\to S_{EFC}=\dfrac3{10}R^2$