Đáp án:

a) Do tam giác ABC cân tại C nên BC = CA; góc A = góc B

=> CE = BE = CD = DA

Xét ΔCBD và ΔCAE có:

+ CB = CA
+ góc C chung

+ CD = CE

=> ΔCBD = ΔCAE (c-g-c)

=> AE = BD

b) Do CE = CD

=> ΔCDE cân tại C

=> ΔCDE và ΔCBA cân tại C

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {CED} = \frac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2}\\
 \Rightarrow DE//AB
\end{array}$

c) Ta cm được ΔCBI = ΔCAI (ch-cgv)

=> IA = IB và góc CIB = góc CIA = 90 độ

=> CI là đường trung tuyến và đường cao

=> IM ⊥ AB

=> M là trọng tâm ΔABC

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{CM}}{{CI}} = \frac{2}{3}\\
 \Rightarrow IM = \frac{1}{3}CI\\
Theo\,Pytago\,trong\,\Delta CBI:\\
C{I^2} + B{I^2} = C{B^2}\\
 \Rightarrow C{I^2} = {15^2} - {12^2} = 81\\
 \Rightarrow CI = 9\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow IM = \frac{1}{3}.9 = 3\left( {cm} \right)\\
d)AB + 2BC = AB + BC + CA\\
CI + 2AE = CI + BD + AE
\end{array}$

Trong các tam giác vuông thì cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất nên ta có:

$\begin{array}{l}
AB > AE\\
BC > CI\\
CA > AE
\end{array}$

$ \Rightarrow AB + 2BC > CI + 2AE$