Câu 5:

a,Vì $n^2-18n-10$ là số chính phương

$\to n^2-18n-10=a^2(a \in N)$

$\to n^2-2.n.9+81-91=a^2$

$\to (n-9)^2-a^2=91$

$\to (n-a-9)(n+a-9)=91$

Đến đây lập hpt rồi tự giải.

$b,+)\dfrac{a}{b^2+1}$

$=\dfrac{ab^2+a-ab^2}{b^2+1}$

$=\dfrac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}$

$=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}$

Áp dụng BĐT cosi ta có:

$b^2+1 \geq 2b$

$\to \dfrac{ab^2}{b^2+1} \leq \dfrac{ab}{2}$

$\to a-\dfrac{ab^2}{b^2+1} \geq a-\dfrac{ab}{2}$

Hoàn toàn tương tự:

$\dfrac{b}{c^2+1} \geq b-\dfrac{bc}{2}$

$\dfrac{c}{a^2+1} \geq c-\dfrac{ac}{2}$

$\to M \geq a+b+c-(\dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2})$

Với mọi số thực ta luôn có:

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$

$\to 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$

$\to ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$

$\to 3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2=9$

$\to ab+bc+ca \leq 3$

$\to \dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2} \leq \dfrac{3}{2}$

$\to M \geq 3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$(đúng như dự đoán)