Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)\left( P \right):y = {x^2}\\
 + Cho:x = 0 \Rightarrow y = 0\\
 + Cho:x = 1 \Rightarrow y = 1\\
 + Cho:x =  - 1 \Rightarrow y =  - 1\\
 \Rightarrow \left( {0;0} \right);\left( {1;1} \right);\left( { - 1;1} \right) \in \left( P \right)\\
m = 1\\
 \Rightarrow \left( d \right):y = 2x - 1\\
 + Cho:x = 1 \Rightarrow y = 1\\
 + Cho:x = 0 \Rightarrow y =  - 1\\
 \Rightarrow \left( {1;1} \right);\left( {0; - 1} \right) \in \left( d \right)\\
b){x^2} = 2mx - 2m + 1\\
 \Rightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\\
 \Rightarrow \Delta ' > 0\\
 \Rightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0\\
 \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\
 \Rightarrow m > 1\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = 2m - 1
\end{array} \right.\\
A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\\
Do:{y_1} + {y_2} = 2\\
 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 2\\
 \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 2\\
 \Rightarrow 4{m^2} - 2.\left( {2m - 1} \right) = 2\\
 \Rightarrow 2{m^2} - 2m + 1 = 1\\
 \Rightarrow 2{m^2} - 2m = 0\\
 \Rightarrow 2m\left( {m - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( {ktm} \right)\\
m = 1\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy ko có m thỏa mãn yêu cầu.

`y=x^2` $(P)$

`y=2mx-2m+1` $(d)$

`a)` Với `m=1`

`=>(d)y=2x-1`

**Vẽ đồ thị $y=2x-1$

+) `x=0=>y=-1` ta có điểm $(0;-1)$

+) `y=0<=>2x-1=0<=>x=1/ 2` ta có điểm `(1/ 2 ;0)`

**Vẽ đồ thị $y=x^2$ $(P)$

+) `TXĐ: R`

+) Bảng giá trị 

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&-2&-1&0&1&2\\\hline y=x^2&4&1&0&1&4\\\hline\end{array}$

+) Vẽ đồ thị (như hình vẽ)

`b)` Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$

`\qquad x^2=2mx-2m+1=0` 

`<=>x^2-2mx+2m-1=0` $\ (1)$

`∆'=b'^2-ac=(-m)^2-(2m-1)=(m-1)^2`

Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ thì $pt(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt

`=>∆'>0⇔(m-1)^2>0<=>m\ne 1`

`A(x_1;y_1);B(x_2;y_2) \in (P): y=x^2`

`=>y_1^2=x_1^2;y_2^2=x_2^2`

Áp dụng định lý Viet ta có:

`x_1+x_2={-b}/a=2m`

`x_1x_2=c/a=2m-1`

Tổng tung độ hai giao điểm bằng $2$

`=>y_1+y_2=2`

`<=>x_1^2+x_2^2=2`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2`

`<=>(2m)^2-2.(2m-1)=2`

`<=>4m^2-4m=0<=>4m(m-1)=0`

$⇔\left[\begin{array}{l}m=0\\m-1=0\end{array}\right.$ $\left[\begin{array}{l}m=0\\m=1\ (không\ thỏa\ đk)\end{array}\right.$

Vậy `m=0`