Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Vấn đề của 2 bài này không phải là khó, mà làm 2 bài cùng lúc dài nên chẳng ai muốn làm hết :v

1.

Gọi H là giao điểm AC và BD.

Qua B kẻ đường thẳng song song EF cắt AC tại M

Qua D kẻ đường thẳng song song EF cắt AC tại N

$\widehat{BMH}=\widehat{DNH}$ (slt); $\widehat{H_{1}}=\widehat{H_{2}}$ (đối đỉnh); $DH=BH$

$⇒ΔMBH=ΔNDH⇒MH=NH$

Mà $AH=CH⇒AM=CN$

Talet: $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AM}{AG}$; $\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AN}{AG}$

$⇒\dfrac{AB}{AE}+\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AM+AN}{AG}=\dfrac{CN+AN}{AG}=\dfrac{AC}{AG}$

2.

a.

Qua C kẻ đường thẳng song song AB cắt BM và AH kéo dài lần lượt tại E và F

Talet: $\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB}{CF}$; $\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{CE}{AB}$

Vẫn theo Talet: $\dfrac{CF}{AD}=\dfrac{CI}{ID}=\dfrac{CE}{BD}⇒\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{CF}{CE}$

$⇒\dfrac{BH}{HC}·\dfrac{CM}{MA}·\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AB}{CF}·\dfrac{CE}{AB}·\dfrac{CF}{CE}=1$

b.

Do M là trung điểm AC $⇒\dfrac{CM}{MA}=1⇒\dfrac{BH}{HC}·\dfrac{AD}{BD}=1$

$⇒BH=\dfrac{BD.CH}{AD}$

Theo định lý phân giác: $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BC}{AC}⇒BH=\dfrac{BC.CH}{AC}$

Lại có $AC^2=BC.CH$ (hệ thức lượng) $⇒BH=\dfrac{AC^2}{AC}=AC$