Đáp án:

a) Tứ giác AEHF có 3 góc vuông tại A,E,F

=> AEHF là hình chữ  nhật

=> AH = EF (2 đường chéo bằng nhau)

b)

$\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.5.12 = 30\left( {c{m^2}} \right)\\
c)Theo\,Pytago:\\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Rightarrow B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\\
 \Rightarrow BC = 13\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = 30\\
 \Rightarrow AH = \dfrac{{30.2}}{{13}} = \dfrac{{60}}{{13}}\left( {c{m^2}} \right)\\
 \Rightarrow EF = AH = \dfrac{{60}}{{13}}c{m^2}\\
d)AM = BM = CM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{13}}{2}cm
\end{array}$

a. 

+ $AH = EF$ ($AH$ và $EF$ là hai đường chéo của $HCM$)

b. 

+ Ta có: $S_{∆ABC} = \frac{AB.AC}{2} = \frac{5.15}{2} = 30$ (cm^{2}).

c.

+  EF = AH ⇒ $\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}}$ 

⇒$AH^{2} = \frac{1}{\frac{1}{AB^{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{AC^{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{5^{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{12^{2}}} = \frac{3600}{169}$ 

⇒ $AH = \frac{60}{13} = EF$.

d. 

+ $∆ABC$ vuông tại $A$, $AM$ là đường trung tuyến.

⇒ $AM = MB = MC = \frac{BC}{2}$.

(Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền).

⇒ $∆BMA$ cân tại $M$ ⇒$\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ (tc).

+ $MA = MC$ ⇒ $∆MAC$ cân tại $M$ ⇒ $\widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ (tc) ⇒ $\widehat{MAF} = \widehat{BAC}$