$a)AB=AC;BM=CN\\ =>AB-BM=AC-CN\\ <=>AM=AN$

Xét $\Delta ABN$ và $\Delta ACM$

$\widehat{A}:$ chung

$AB=AC\\ AN=AM\\ =>\Delta ABN = \Delta ACM\\ b)\Delta ABN = \Delta ACM\\ =>\widehat{B_1}=\widehat{C_1};\\ \widehat{BNA}=\widehat{CMA}\\ <=>180^o-\widehat{BNA}=180^o-\widehat{CMA}\\ <=>\widehat{N_1}=\widehat{M_1}$

Xét $\Delta BIM$ và $\Delta CIN$

$\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ \widehat{M_1}=\widehat{N_1}\\ BM=CN\\ =>\Delta BIM = \Delta CIN\\ c)\Delta BIM = \Delta CIN\\ =>IM=IN$

Mà $AM=AN$

$=>AI$ là trung trực $MN$

$=>AI \perp MN\\ d)\widehat{BAI}=35^o\\ =>\widehat{BAC}=70^o\\ \widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=55^o$

a) ta có : AB = AC 

mà : BM = CN ( GT )

⇒ AM = AN 

xét ΔABN và ΔACM có :
AB = AC ( GT )

góc A chung 

AM = AN ( cmt )

⇒ ΔABN = ΔACM ( g.c.g )
 b) ta có : ΔABN = ΔACM (  cmt )

⇒ góc ABN = góc ACM 

lại có : góc AMC = góc ANB ( ΔABN = ΔACN )(1) 

mà : góc AMC + góc BMC = 180 độ ( 2 góc kề bù )

                                                                                        (2)

góc ANB + góc CNB = 180 độ ( 2 góc kề bù )

từ (1)và(2)⇒góc BMC = góc CNB hay góc BMI = góc CNI .

xét ΔBIM và  ΔCIN có :

góc BMI = góc CNI ( cmt )

BM = NC ( GT )

góc ABN = góc ACM ( cmt )

⇒ΔBIM = ΔCIN ( g.c.g )

c) ta có: ΔBIM = ΔCIN ( cmt )

⇒ MI = IN (3)

lại có : AM = AN ( cmt )  (4)

kết hợp (3)và(4):⇒AI là đường trung trực ( định lí đường trung trực )

                          ⇒AI vuông góc với MN.( t/c đường trung trực )

d) nối A với I .

xét ΔABI và ΔACI có :

AB = AC ( GT )

AI là cạnh chung

BI = IC ( ΔBIM = ΔCIN )

⇒ ΔABI =ΔACI ( c.c.c )

⇒ góc BAI = góc CAI 

mà : góc BAI = 35°

⇒ góc CAI = 35°

lại có : góc BAC = góc BAI + góc CAI

⇒ góc BAC = 2 x 35°=70°

mặt khác : góc ABC = (180° - góc BAC) : 2

                                ⇒(180° - 70°) : 2

                                ⇒góc ABC =55°