a) Ta có: $K$ đối xứng $H$ qua $M\quad (gt)$

$\Rightarrow MH = MK=\dfrac12HK$

Xét tứ giác $BHCK$ có:

$BM = MC =\dfrac12BC\quad (gt)$

$MH = MK=\dfrac12HK$

Do đó $BHCK$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

b) Ta có:

$BHCK$ là hình bình hành (câu a)

$\Rightarrow \begin{cases}BH//CK\\CH//BK\end{cases}$

mà $\begin{cases}BH\perp AC\quad (BE\perp AC)\\CH\perp AB\quad (CF\perp AB)\end{cases}$

nên $\begin{cases}CK\perp AC\\BK\perp AB\end{cases}$

c) Ta có: $I$ đối xứng $H$ qua $BC\quad (gt)$

$\Rightarrow BC$ là trung trực của $HI$

Gọi $D$ là giao điểm $HI$ và $BC$

$\Rightarrow DH = DI =\dfrac12HI$

Ta lại có: $MH= MK=\dfrac12HK$

$\Rightarrow MD$ là đường trung bình của $∆HIK$

$\Rightarrow MD//IK$

$\Rightarrow IK//BC$

$\Rightarrow BCKI$ là hình thang đáy $IK$ và $BC\quad (1)$

Mặt khác:

$BC$ là trung trực của $HI$

$\Rightarrow BC$ là phân giác của $\widehat{HBI}$

$\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{IBC}$

Ta lại có:

$BH//CK$ ($BHCK$ là hình bình hành)

$\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{KCB}$ (so le trong)

Do đó:

$\widehat{IBC}=\widehat{KCB}\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow BCKI$ là hình thang cân

d) Khi $HCKG$ là hình thang cân

$\Rightarrow \widehat{GHC}=\widehat{KCH}$

mà $\begin{cases}\widehat{GHC}=\widehat{ABC}\quad\text{(cùng phụ $\widehat{BCH}$)}\\\widehat{KCH}=\widehat{HBK}\quad \text{(BHCK là hình bình hành)}\end{cases}$

nên $\widehat{ABC}=\widehat{HBK}$

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CBK}$

Mặt khác:

$\quad \begin{cases}\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{BAC}$)}\\\widehat{CBK}=\widehat{HCB} =\widehat{FCB}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{ACF}=\widehat{FCB}$

$\Rightarrow CF$ là phân giác của $\widehat{ACB}$

mà $CF$ là đường cao ứng với cạnh $AB$

$\Rightarrow  ∆ABC$ cân tại $C$

Vậy $HCKI$ là hình thang cân $\Leftrightarrow ∆ABC$ cân tại $C$