Giải thích các bước giải:

Ta có: $CF\perp AB,  BE\perp AC, BE\cap CF=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC$

$\to AG\perp BC$

$\to AG$ là phân giác $\widehat{BAC}, G$ là trung điểm $BC$

Mà $GM\perp AB, GN\perp AC\to GM=GN$

Ta có:

$GM\perp AB\to GM//CF$ 

Mà $G$ là trung điểm $BC\to GM$ là đường trung bình $\Delta BCF$

$\to M$ là trung điểm $BF$

Tương tự chứng minh được $N$ là trung điểm $CE$

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, BE\perp AC, CF\perp AB\to BE=CF$

$\to AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{AC^2-CF^2}=AF$

$\to \Delta AEF$ cân tại $A$

Mà $AG$ là phân giác $\widehat{BAC}\to AD$ là phân giác $\widehat{FAE}$

$\to D$ là trung điểm $EF$

Ta có: $D,M,G,N$ là trung điểm $EF,FB,BC,CE$

$\to DM,GN$ là đường trung bình $\Delta FEB,\Delta CEB$

$\to DM//BE, DM=\dfrac12BE$ và $GN//BE, GN=\dfrac12BE$
$\to DM//GN, DM=GN$

$\to DMGN$ là hình bình hành

Mà $GM=GN$

$\to DMGN$ là hình thoi