Đáp án:

 a) n=6,m=8 

b) 
\(\begin{align}
  & {{R}_{2}}=16,25\Omega  \\ 
 & {{P}_{max}}=1,45\text{W} \\ 
\end{align}\)

Giải thích các bước giải:
a) \({{R}_{1}}=4\Omega ;{{R}_{2}}=7\Omega \)

Ghép nối tiếp: n điện trở 1, m điện trở 2: 
\(n.{{R}_{1}}+m.{{R}_{2}}=80\)

=> Số điện trở sử dụng ít nhất: 
\(\begin{align}
  & n=6 \\ 
 & m=8 \\ 
\end{align}\)

b)Điện trở R1 
\(P=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}\Rightarrow 4=\dfrac{{{9}^{2}}}{{{R}_{1}}+4}\Rightarrow {{R}_{1}}=16,25\Omega \)

Công suất tiêu thụ trên R2 : 
\({{P}_{2}}={{I}^{2}}.{{R}_{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{{{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}^{2}}}.{{R}_{2}}=\dfrac{{{U}^{2}}}{\frac{R_{1}^{2}}{{{R}_{2}}}+2.{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}\)

Công suất đạt cực đại khi: 
\({{P}_{\text{MAX}}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{R_{1}^{2}}{{{R}_{2}}}+2.{{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}_{\min }}\)

theo định lý cô si ta có: 
\(\dfrac{R_{1}^{2}}{{{R}_{2}}}+2.{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\ge 2.{{R}_{1}}+2\sqrt{\dfrac{R_{1}^{2}}{{{R}_{2}}}.{{R}_{2}}}=4{{R}_{1}}=56\)

Dấu "=" xảy ra khi: 
\(\dfrac{R_{1}^{2}}{{{R}_{2}}}={{R}_{2}}\Rightarrow {{R}_{2}}={{R}_{1}}=16,25\Omega \)

Công suất cực đại: 
\({{P}_{max}}=\dfrac{{{9}^{2}}}{65}=1,45\text{W}\)

Bài 4:

a, Gọi số điện trở loại $4$ ôm là: $x$

Gọi số điện trở loại $7$ ôm là: $y$

Khi ghép nối tiếp giữa chúng thì ta được điện trở tổng cộng $80$ ôm

$⇒4x+7y=80$

Ta có: $80$ chẵn, $4x$ chẵn với $∀x∈N$

$⇒y$ phải chẵn

Ta có: $x=\dfrac{80-7y}{4}$

Lập bảng giá trị được:

$y=0⇒x=20⇒x+y=20$

$y=2⇒x=\dfrac{33}{2}⇒$ Loại

$y=4⇒x=13⇒x+y=17$

$y=6⇒x=\dfrac{19}{2}⇒$ Loại

$y=8⇒x=6⇒x+y=14$

$y=10⇒x=\dfrac{5}{2}⇒$ Loại

Mà $(x+y)_{min}$

$⇒x=6,y=8$

b, Khi $R_{2}=4$ ôm thì $P_{2}=4W$

$⇒U_{2}=\sqrt{P_{2}.R_{2}}=\sqrt{4.4}=4V$

$⇒I_{1}=I_{2}=\dfrac{U_{2}}{R_{2}}=\dfrac{4}{4}=1A$

$⇒R_{1}=\dfrac{U-U_{2}}{I_{1}}=\dfrac{9-1}{4}=2$ ôm

Gọi $R_{2}=x$

$⇒R_{tđ}=R_{1}+R_{2}=2+x$

$⇒I_{2}=I=\dfrac{U}{R_{tđ}}=\dfrac{9}{2+x}$

$⇒P_{2}=I_{2}².R_{2}=\dfrac{81}{(2+x)²}.x=\dfrac{81}{(\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x})²}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$P_{2}≤\dfrac{81}{(2.\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}})²}=\dfrac{81}{4.2}=10,125W$

$⇒P_{2_{Max}}=10,125W$ khi $\dfrac{2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$

$⇔R_{2}=x=2$ ôm