a) Ta có:

$D$ đối xứng với $H$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HD$

$\Rightarrow AD = AH;\, BD = BH$

Tương tự:

$AC$ là trung trực của $HE$

$\Rightarrow AE = AH;\, CE = CH$

$\Rightarrow AD = AE = AH$ $(1)$

Ta cũng được:

$\widehat{DAH} = 2\widehat{HAB}$

$\widehat{EAH} = 2\widehat{HAC}$

$\Rightarrow \widehat{DAH} + \widehat{EAH} = 2(\widehat{HAB}+ \widehat{HAC}) = 2\widehat{BAC} = 2.90^o = 180^o$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow A$ là trung điểm của $DE$

b) Xét $∆ABH$ và $∆ADH$ có:

$AB:$ cạnh chung

$AD= AH$

$BD = BH$

Do đó $∆ABH=∆ADH\, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{AHB} = \widehat{ADB} = 90^o$

$\Rightarrow BD\perp DE$

Chứng minh tương tự, ta được:

$CE\perp DE$

Do đó: $BCED$ là hình thang vuông tại $D$ và $E$

c) Ta có: $∆ABH\sim ∆CAH\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{AH}{CH}$

$\Rightarrow AH^2 = BH.CH = 2.8 = 16$

$\Rightarrow AH = 4\, cm$

Ta được:

$P_{BCED} = BD + DE + EC + BC$

$= BH + (AD + AE) + CH + (BH + CH)$

$= BH + 2AH + CH + BH + CH$

$= 2(AH + BH + CH)$

$= 2.(4+2+8) = 28\, cm$