Đáp án:

a) $\triangle BAC\backsim\triangle AHC$

b) $HK^2=AK.KC$

c) $AQ.AB=AK.AC, \triangle AQK\backsim\triangle ACB$

d) $AM\bot KQ$ tại I

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle BAC$ và $\triangle AHC$:

$\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{C}$: chung

$\to\triangle BAC\backsim\triangle AHC$ (g.g)

b)

$\triangle AHC$ vuông tại H:

$\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle HKC$ vuông tại K:

$\widehat{KHC}+\widehat{C}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{HAC}=\widehat{KHC}$

Xét $\triangle AKH$ và $\triangle HKC$:

$\widehat{AKH}=\widehat{HKC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{KAH}=\widehat{KHC}$ (cmt)

$\to\triangle AKH\backsim\triangle HKC$ (g.g)

$\to\dfrac{AK}{HK}=\dfrac{HK}{CK}\\\to HK^2=AK.CK$

c)

Xét $\triangle AQH$ và $\triangle AHB$:

$\widehat{AQH}=\widehat{AHB}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{BAH}$: chung

$\to\triangle AQH\backsim\triangle AHB$

$\to\dfrac{AQ}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\\\to AQ.AB=AH^2$

Xét $\triangle AKH$ và $\triangle AHC$:

$\widehat{AKH}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{HAC}$: chung

$\to\triangle AKH\backsim\triangle AHC$ (g.g)

$\to\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\\\to AK.AC=AH^2$

$\to AQ.AB=AK.AC=AH^2\\\to\dfrac{AQ}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$

Xét $\triangle AQK$ và $\triangle ACB$:

$\dfrac{AQ}{AK}=\dfrac{AC}{AB}$ (cmt)

$\widehat{BAC}$: chung

$\to\triangle AQK\backsim\triangle ACB$ (c.g.c)

d)

$\triangle AQK\backsim\triangle ACB$ (cmt)

$\to\widehat{AQK}=\widehat{ACB}$

Ta có: $\widehat{AQK}=\widehat{QKH}$ (so le trong)

$\to\widehat{QKH}=\widehat{ACB}$

$\triangle ABC$ vuông tại A, có đường trung tuyến AM (gt)

$\to AM=BM=MC=\dfrac{1}{2}BC$

$\to\triangle AMC$ cân tại M

$\to\widehat{ACB}=\widehat{IAK}$ (2 góc ở đáy)

$\to\widehat{QKH}=\widehat{IAK}$

Ta có: $HQ\bot AB, AC\bot AB$ (gt)

$\to HQ//AC$

Xét tứ giác AQHK:

$\widehat{QAK}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AQH}=90^o\,\,\,(HQ\bot AB)\\\widehat{AKH}=90^o\,\,\,(HK\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AQHK là hình chữ nhật

$\to\widehat{QHK}=90^o$

Xét $\triangle AIK$ và $\triangle KHQ$:

$\widehat{KAI}=\widehat{QKH}$ (cmt)

$\widehat{AKI}=\widehat{KQH}$ (so le trong)

$\to\triangle AIK\backsim\triangle KHQ$ (g.g)

$\to\widehat{AIK}=\widehat{KHQ}$

$\to\widehat{AIK}=90^o$

$\to AM\bot KQ$ tại I