Đáp án:

a) $\triangle MNQ=\triangle KNQ$

b) $MP=5\sqrt{3}cm$

c) $\triangle MNK$ cân tại N

d) $\triangle MNK$ đều

e) N, Q, A thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle MNQ$ và $\triangle KNQ$:

$\widehat{NMQ}=\widehat{NKQ}\,\,\,(=90^o)$

$NQ$: chung

$\widehat{MNQ}=\widehat{KNQ}$ (gt)

$\to\triangle MNQ=\triangle KNQ$ (ch - gn)$

b)

$\triangle MNP$ vuông tại M:

$MN^2+MP^2=NP^2$ (định lý Pytago)

$\to MP=\sqrt{NP^2-MN^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}(cm)$

c)

$\triangle MNQ=\triangle KNQ$ (cmt)

$\to NM=NK$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle MNK$ cân tại N

d)

$\triangle MNP$ vuông tại M

$\to\widehat{P}+\widehat{MNP}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{MNP}=90^o-30^o=60^o$

Hay $\widehat{MNK}=60^o$

Mà $\triangle MNK$ cân tại N (cmt)

$\to\triangle MNK$ đều

e)

$\triangle MNQ=\triangle KNQ$

$\to MQ=KQ$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle MQI$ và $\triangle KQP$:

$MI=KQ$ (gt)

$\widehat{QMI}=\widehat{QKP}\,\,\,(=90^o)$

$MQ=KQ$ (cmt)

$\to\triangle MQI=\triangle KQP$ (c.g.c)

$\to QI=QP$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle QIP$ cân tại Q

$\to\widehat{MQI}=\widehat{KQP}$ (2 góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat{KQP}+\widehat{MQK}=180^o$ (kề bù)

$\to\widehat{MQI}+\widehat{MQK}=180^o=\widehat{IQK}$

$\to$ I, Q, K thẳng hàng

Lại có: A là trung điểm của IP (gt)

$\to$ QA là đường trung tuyến của $\triangle QIP$

$\to$ QA đồng thời là đường cao

$\to QA\bot IP$ (1)

Xét $\triangle INP$:

$IK\bot NP\,\,\,(QK\bot NP)$

$PM\bot NI\,\,\,(PM\bot MN)$

Q là giao điểm của IK, PM ($Q\in MP$; I, Q, N thẳng hàng)

$\to$ Q là trực tâm của $\triangle INP$

$\to NQ\bot IP$ (2)

Từ (1), (2) $\to$ N, Q, A thẳng hàng