Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OCB$

$OA=OC$

$\widehat{DOB}:$ chung

$OD=OB\\ \Rightarrow \Delta OAD = \Delta OCB (c.g.c)\\ \Rightarrow AD =CB\\ b) \Delta OAD = \Delta OCB\\ \Rightarrow \widehat{D_1}= \widehat{B_1}(1)\\ \Delta OBD có OB=OD$

$\Rightarrow \Delta OBD$ cân tại $O$

$\Rightarrow  \widehat{ODB}=\widehat{OBD} (2)$

Trừ vế tương ứng của $(1)$ và $(2)$

$\Rightarrow\widehat{ODB}-\widehat{D_1}=\widehat{OBD}- \widehat{B_1}\\ \Leftrightarrow \widehat{D_2}=\widehat{B_2}$

$\Rightarrow \Delta IDB$ cân tại $I$

$\Rightarrow ID=IB$

Mà $AD=BC$

$\Rightarrow AD-ID=BC-IB\\ \Leftrightarrow IA=IC$

$c)$Xét $\Delta OAI$ và $\Delta OCI$

$OI:$ chung

$OA=OC\\ AI=CI\\ \Rightarrow \Delta OAI = \Delta OCI (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$$\Rightarrow OI$ là phân giác $\widehat{BOD}$

Mà $\Delta \Delta OBD$ cân tại $O$

$\Rightarrow OI$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow OI \perp BD.$