a) Xét ΔABM và ΔANM:

∠BAM=∠NAM (AM là phân giác ∠BAC)

AN=AB (gt)

AM chung

⇒ΔABM=ΔANM (c-g-c)

⇒MB=MN (2 cạnh tương ứng)

Theo chứng minh trên ta có: ΔABM=ΔANM

⇒∠ABM=∠ANM (2 góc tương ứng)

mà ∠ABM kề bù với ∠KBM, ∠ANM kề bù với ∠CNM

⇒∠ABM+∠KBM=∠ANM+∠CNM=$180^{o}$ 

⇒∠KBM=∠CNM (đpcm)

b) Xét ΔKBM và ΔCNM:

∠KBM=∠CNM (cmt)

MB=MN (cmt)

∠BMK=∠NMC (đối đỉnh)

⇒ ΔKBM=ΔCNM (g-c-g)

c) Ta có: AB=AN

⇒ΔABN cân tại A mà AM là phân giác ∠BAC

⇒AM đồng thời là phân giác đồng thời là đường cao

⇒AM ⊥ BN

Ta có: ΔKBM=ΔCNM ⇒ BK=CN mà AB=AN

⇒BK+AB=CN+AN hay AK=AC ⇒ ΔAKC cân tại A

⇒∠AKC=∠ACK 

mà ∠ABN=∠ANB (Δ ABN cân tại A)

⇒∠ABN=∠AKC và ∠ANB=∠ACK

mà hai góc ở vị trí đồng vị

⇒BN ║ CK mà BN ⊥ AM

⇒AM ⊥ KC

a, Xét ΔABM và ΔANM có:

AB = AN (gt)

góc BAM = góc NAM (gt)

AM là cạnh chung

⇒ ΔABM = ΔANM (c.g.c)

⇒ MB = MN ( 2 cạnh tương ứng)       (đpcm)

+, Ta có: ΔABM = ΔANM (cmt)

⇒ góc ABM = góc ANM ( 2 góc tương ứng)

Mà ABM + MBK = 180 độ và ANM + NMC = 180 độ 

⇒góc KBM = góc CNM ( đpcm)

b, Xét ΔKBM và ΔCNM có:

góc KBM = góc CNM ( phần a)

BM = MN ( phần a)

góc BMK = góc NMC ( đối đỉnh)

⇒ΔKBM = ΔCNM ( c.g.c)         (đpcm)

c,  Ta có: ΔKBM = ΔCNM ( phần b)

⇒ BK = NC ( 2 cạnh tương ứng)

+, Ta lại có: AK = AB + BK; AC = AN + NC mà AB = AN (gt)

⇒ AK = AC 

⇒ ΔAKC là tam giác cân. Mà AM là phân giác của góc KAC (gt)

⇒AM là đường trung trực của ΔKAC

⇒AM ⊥ KC (đpcm)