Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=1$

Gọi tiếp tuyến cần tìm là $y=ax+b$ $(a\neq0) (Δ)$, ta có:

a) $3x-4y+a$ $(a\neq1)$

Khoảng cách từ $I$ tới $(Δ)$ chính bằng độ dài bán kính

$⇔d(I,Δ)=\frac{|3+8+a|}{5}=1$

$⇔|a+11|=5$

$⇔\left[ \begin{array}{l}a=-16\\a=-6\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy có $2$ tiếp tuyến là $3x-4y-16=0$ hoặc $3x-4y-6=0$

b) $y=\sqrt[]{3}x+b$ hay $\sqrt[]{3}x-y+b=0$

Tương tự ý a, khoảng cách từ $I$ tới $(Δ)$ chính bằng độ dài bán kính

$⇔d(I,Δ)=\frac{|\sqrt[]{3}+2+b|}{2}=1$

$⇔|\sqrt[]{3}+2+b|=2$

$⇔\left[ \begin{array}{l}b=-\sqrt[]{3}\\b=-4-\sqrt[]{3}\end{array} \right.$

Vậy có $2$ tiếp tuyến là $\sqrt[]{3}x-y-\sqrt[]{3}=0$ hoặc $\sqrt[]{3}x-y-4-\sqrt[]{3}=0$

c) Thay tọa độ $E$ vào $Δ$, ta có:

$3=-4a+b⇔4a-b+3=0$ $(1)$

Có: $d(I,Δ)=\frac{|a+2+b|}{\sqrt[]{a^2+1}}=1$

$⇔|a+2+b|=\sqrt[]{a^2+1}$

$⇔a^2+b^2+4+4a+4b+2ab=a^2+1$ $(2)$

Từ $(1)⇒b=4a+3$ thay vào $(2)$, ta có:

$(4a+3)^2+4a+4(4a+3)+2a(4a+3)+3=0$

$⇔24a^2+50a+24=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}a=\frac{-3}{4}\\a=\frac{-4}{3}\end{array} \right.$

$⇒\left[ \begin{array}{l}b=0\\b=\frac{-7}{3}\end{array} \right.$

Vậy có $2$ tiếp tuyến là $y=\frac{-3}{4}x$ hay $3x+4y=0$ hoặc $y=\frac{-4}{3}-\frac{7}{3}$ hay $4x+3y+7=0$.