Đáp án:

d:3x-4y+15+12,5.$\sqrt{3} $ =0

d:3x-4y+15-12,5.$\sqrt{3} $ =0

Giải thích các bước giải:

Phương trình đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_{\Delta }$=(3;-4)

Do đó chọn vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là:

$\overrightarrow{n}_{d }$=$\overrightarrow{n}_{\Delta }$=(3;-4)

Suy ra phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng$\Delta$ có dạng

3x-4y+k=0

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1;3) bán kính R=5

Xét tam giác đều ABI có IH là đường cao (H là trung điểm của AB;HA=HB=0,5.AB=0,5.IA=2,5)

IH=$\sqrt{IA^2-HA^2}=\sqrt{5^2-2,5^2}=2,5.\sqrt{3}$

Suy ra

$d_{I;(d)}$=IH=$\frac{|3.(-1)-4.3+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$=$2,5.\sqrt{3}$   (*)

Giải phương trình (*) ta được k=15+12,5.$\sqrt{3} $ hoặc k=15-12,5.$\sqrt{3}$

 Với k=15+12,5.$\sqrt{3} $ ta được phương trình đường thẳng d là :3x-4y+15+12,5.$\sqrt{3} $ =0

Với k=15-12,5.$\sqrt{3} $ ta được phương trình đường thẳng d là :3x-4y+15-12,5.$\sqrt{3} $ =0

vậy có hai phương trình đường thẳng cần tìm là

d:3x-4y+15+12,5.$\sqrt{3} $ =0

d:3x-4y+15-12,5.$\sqrt{3} $ =0

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1;3)$, bán kính $R=5$

Vì $d$ song song với $Δ$ nên $d$ có dạng $3x-4y+a=0$ $(a\neq1)$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, ta có $HA=HB$, đồng thời $IH$ là đường cao, cũng chính là khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d$

Xét $ΔAIB$ có: $IH=\sqrt[]{AI^2-HA^2}$

$=\sqrt[]{R^2-(\frac{R}{2})^2}$

$=\sqrt[]{25-\frac{25}{4}}$

$=\frac{5\sqrt[]{3}}{2}$

$⇒d(I,d)=\frac{|-3-12+a|}{5}=\frac{5\sqrt[]{3}}{2}$

$⇔|a-15|=\frac{25\sqrt[]{3}}{2}$

$⇔a=\frac{30±25\sqrt[]{3}}{2}$

Vậy có hai đường thẳng $d$ cần tìm là:

$\left[ \begin{array}{l}6x-8y+30+25\sqrt[]{3}=0\\6x-8y+30-25\sqrt[]{3}=0\end{array} \right.$