Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

• \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
• \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
• \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

• Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
• Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):
  • \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        
  •  =  + '     
  • \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
  • \(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     
  • \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)                                                                                                                                

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

• \(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
• \({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

• \({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
• \(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải: 

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3: 

Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4: 

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ và nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

  • A. Hiệu của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số thuần ảo
  • B. Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó là một số ảo
  • C. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\)
  • D. Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

• Câu 2:

  Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.

  • A. m=1
  • B. m=2
  • C. m=-2
  • D.  \(m = \pm 1\)

• Câu 3:

  Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.

  • A. -1
  • B. -2
  • C. 1
  • D. 2

• Câu 4:

  Cho số phức \(z=2–3i\). Tìm môđun của số phức \(\omega = 2z + \left( {1 + i} \right)\overline z\).

  • A. \(\left| \omega \right| = 4\)
  • B.  \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 2\)
  • C.  \(\left| \omega \right| = \sqrt {10}\)
  • D.  \(\left| \omega \right| = 2\)

• Câu 5:

  Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).

  • A.  \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
  • B.  \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
  • C.  \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
  • D.  \(z = - \frac{1}{2}i\)

• Câu 6:

  Số phức z = 2-3i có điểm biểu diễn là :

  • A. (2;3)
  • B. (-2;-3)
  • C. (2;-3)
  • D. (-2;3)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 5 trang 136 SGK Giải tích 12

Bài tập 4.10 trang 201 SBT Toán 12

Bài tập 4.11 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.12 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.13 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.14 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.15 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.16 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.17 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.8 trang 201 SBT Toán 12

Bài tập 4.18 trang 202 SBT Toán 12

Bài tập 4.9 trang 201 SBT Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.