Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(0

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)

Với \(00:a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
  • Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)
    • Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)
    • Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)
  • Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)
    • Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)
    • Ta có:   \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).
  • Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)
    • Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:
    • \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)
    • Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)
    • Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).

• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 
  • Xem ẩn đầu là tham số
  • Đưa về phương trình tích
  • Đưa về hệ phương trình
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
  • Đưa về phương trình tích
  • Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

• Xét hàm số \(y=a^x\):
  • Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Nếu \(0
• Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
• Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
• Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
  • \(f(x)\)đồng biến trên D.
  • \(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với \(00 \end{matrix}\right.\)

b) Phương pháp mũ hóa

Với \(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

• Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.
• Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Xem ẩn ban đầu là tham số.
  • Đưa về phương trình tích.
• Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
  • Đưa về phương trình tích
  • Xem 1 ẩn là tham số
  • Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

• Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
  • \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
  • ​\(0
• Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
  • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
  • Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
    • \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
    • \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.
• Nếu hàm số \(f(x)\) đồng biến trên D và \(g(x)\) nghịch biến trên D thì phương trình \(f(x)=g(x)\) có tối đa một nghiệm. Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
• Xét phương trình \(f(x)=m\): Nếu \(f(x)\) đồng biến (nghịch biến) trên D thì phương trình có tối đa 1 nghiệm.Khi đó nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.

1. Giải phương trình mũ

Ví dụ 1:

Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)  

Lời giải:

a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Ví dụ 2:

Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Lời giải:

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)

\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).

Ví dụ 3: 

Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)

b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)

Lời giải:

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)

(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)

Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)

Khi đó phương trình tương đướng với:

\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Ví dụ 4: 

a) \(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3\)

b) \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {(x - 1)^2}\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(x>0\)

\(x + {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow {2.3^{{{\log }_2}x}} = 3 - x\) (*)

Nhận xét: 

+ Vế phải của phương trình là một hàm số nghịch biến.

+ Vế trái của phương trình là một hàm số đồng biến.

Do vậy nếu phương trình có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.

Dễ thấy: \(x=1\) là nghiệm của phương trình (*).

Vậy \(x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có: \({(x - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x \ge x - 1\)

Suy ra: \({2^{{x^2} - x}} \ge {2^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} \le 0\) (Do hàm số \(y=2^t\) đồng biến)

Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l} VT \le 0\\ VP \ge 0 \end{array} \right.\)

Mà: \(VT=VP\)

Suy ra: \(VT=VP=0\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2} = 0\\ {2^{x - 1}} = {2^{{x^2} - x}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)

2. Giải phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)

Lời giải:

Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:

\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

Ví dụ 6:

Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Ví dụ 7: 

Giải phương trình  \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)

Lời giải:

 \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)

Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:

\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).

Ví dụ 8:

Giải phương trình \({\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\) (Dùng phương pháp hàm số)

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2.\)

Khi đó: 
\(\begin{array}{l} {\log _2}({x^2} - 4) + x = {\log _2}\left[ {8(x + 2)} \right]\\ \Leftrightarrow {\log _2}({x^2} - 4) - {\log _2}(x + 2) = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = 3 - x\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 2} \right) = 3 - x \end{array}\)

Nhận xét:

Hàm số \(y = {\log _2}(x - 2)\) là hàm số đồng biến.

Hàm số \(y=3-x\) là hàm số nghịch biến

Vậy nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Dễ thấy x=3 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có ngiệm duy nhất \(x=3.\)

Nội dung bài học giới thiệu đến các em những phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Thông những ví dụ minh họa sẽ giúp các em bước đầu biết cách giải phương trình mũ và lôgarit. 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tính P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}.\)

  • A. \(P= - 2\sqrt 3\)
  • B. \(P= 2\sqrt 3\)
  • C. \(P= 3\)
  • D. \(P= -3\)

• Câu 2:

  Tính S là tổng các nghiệm của phương trình \({16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = {0,125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}.\)

  • A. \(S=0\)
  • B. \(S=10\)
  • C. \(S=20\)
  • D. \(S=25\)

• Câu 3:

  Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A. \({x_1} + {x_2} = - 2\)
  • B. \({x_1} . {x_2} = - 1\)
  • C. \(2{x_1} + {x_2} = 0\)
  • D. \({x_1} +2 {x_2} = - 1\)

• Câu 4:

  Phương trình \({2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15\) có bao nhiêu nghiệm?

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 0
  • D. 1

• Câu 5:

  Tìm P là tích các nghiệm của phương trình  \({2^{{x^2} - x}} - {2^{x + 8}} = 8 + 2x - {x^2}.\)

  • A. P=-4
  • B. P=-6
  • C. P=-8
  • D. P=-10

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 69 trang 124 SGK Toán 12 NC

Bài tập 70 trang 125 SGK Toán 12 NC

Bài tập 70 trang 125 SGK Toán 12 NC

Bài tập 71 trang 125 SGK Toán 12 NC

Bài tập 72 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 73 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 74 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 75 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 76 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 77 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 78 trang 127 SGK Toán 12 NC

Bài tập 79 trang 127 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.