Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Dãy số (u_n) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)          

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).

c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

Ví dụ 1: Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân  \( \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .\)

Ví dụ 2: 

Tìm \(x,y\) biết:

a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng  và  các số

\({\left( {y - 1} \right)^2},xy - 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.

b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { - \sqrt 3 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { - 3; - 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).

Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này. 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Dãy số \({u_n} = {4.3^n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

  • A. \(q = 3\)
  • B. \(q = 2\)
  • C. \(q = 4\)    
  • D. \(q = \emptyset \)   

• Câu 2:

  Dãy số \({u_n} = 3n - 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?

  • A. \(q = 3\)
  • B. \(q = 2\)
  • C. \(q = 4\)
  • D. \(q = \emptyset \)

• Câu 3:

  Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.   

  • A. \({u_1} = \frac{2}{9};{u_2} = \frac{2}{5};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)
  • B. \({u_1} = \frac{2}{7};{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)
  • C. \({u_1} = \frac{2}{9};{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 21;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)
  • D. \({u_1} = \frac{2}{9};{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = 2;{u_5} = 18;{u_6} = 54;{u_7} = 162\)

• Câu 4:

  Tìm x biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

  • A. \(x =  \pm 1\)
  • B. \(x =  \pm \sqrt 2 \)
  • C. \(x =  \pm 2\)
  • D. \(x =  \pm \sqrt 3 \)

• Câu 5:

  Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + 4mx + m - 2 = 0\) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

  • A. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \frac{1}{{27}}\\m = 0\end{array} \right.\)
  • B. \(m \in \emptyset \)
  • C. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 0\end{array} \right.\)
  • D. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \frac{{10}}{{27}}\\m = 0\end{array} \right.\)

Câu 6 - Câu 16: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 32 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 33 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 34 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 35 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 36 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 37 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 38 trang 121 SGK Toán 11 NC

Bài tập 39 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 40 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 41 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 42 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 43 trang 122 SGK Toán 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.