Toán 11 Bài 2: Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

\( \bullet {\rm{ }}\)Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

\( \bullet \) Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

\( \bullet \) Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

    * Cho một vài số hạng đầu của dãy

    * Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương  \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

Vấn đề 1: Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{  }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\);

c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} - 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

* Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} - 3) + 3 = {2^{k + 2}} - 3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

* \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} - 1) - 1\)

Do \({2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} - 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} - 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

\( \bullet \)  Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

    * Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

    * Nếu \({k_n} < 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

Khi \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

    * Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

    * Nếu \({t_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

\( \bullet \) Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ 3:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{{1 - {u_{n - 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (u_n) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Suy  ra \({u_n} - {u_{n - 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n - 1}}{\rm{  }}\forall n \ge 2\) hay dãy (u_n) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này. 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tìm số hạng thứ 100 và 200 của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}.\)

  • A. \({u_{100}} = \frac{7}{{34}}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}\)
  • B. \({u_{100}} = \frac{{67}}{{34}}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{22}}\)
  • C. \({u_{100}} = \frac{{67}}{4}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}\)
  • D. \({u_{100}} = \frac{{67}}{{34}}\);\({u_{200}} = \frac{{401}}{{202}}\)

• Câu 2:

  Dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

  • A. 1
  • B. 12
  • C. 2
  • D. 0

• Câu 3:

  Dãy số \({u_n} = 2n + \sqrt {{n^2} + 4} \)có bao nhiêu số hạng làng số nguyên.

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

• Câu 4:

  Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = {5.2^{n - 1}} - 3\) với \(\forall n \ge 2\). Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu?

  • A. \({u_{11}}\)
  • B. \({u_{10}}\)
  • C. \({u_{22}}\)
  • D. \({u_{21}}\)

• Câu 5:

  Cho dãy số \(({u_n})\) có 4 số hạng đầu là :\({u_1} = 1,{u_2} = 3,\) \({u_3} = 6,{u_4} = 10\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên.

  • A. \({u_n} = \frac{{3n(n + 1)}}{2}\)
  • B. \({u_n} = \frac{{n(n + 2)}}{2}\)
  • C. \({u_n} = \frac{{n(n + 1)}}{3}\)        
  • D. \({u_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.16 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 3.17 trang 118 SBT Toán 11

Bài tập 9 trang 105 SGK Toán 11 NC

Bài tập 10 trang 105 SGK Toán 11 NC

Bài tập 11 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 12 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 13 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 14 trang 106 SGK Toán 11 NC

Bài tập 25 trang 109 SGK Toán 11 NC

Bài tập 16 trang 109 SGK Toán 11 NC

Bài tập 17 trang 109 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 109 SGK Toán 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.