Hình học 10 Bài 4: Hệ trục tọa độ

Khái niệm:

• Trục tọa độ (trục hoặc trục số) của một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ \(\vec{i}\) có độ dài bằng 1.
• Vectơ \(\vec{i}\) gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ.

Vì vậy, đối với mọi điểm M nằm trên trục tọa độ, ta luôn luôn xác định được số m nào đó sao cho \(\vec{OM}=m\vec{i}\). Số m đó gọi là tọa độ điểm M với trục.

Nếu có hai điểm A và B phân biệt nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ \(\vec{AB}\) được kí hiệu là \(\bar{AB}\) và còn được gọi là độ dài đại số của vectơ \(\vec{AB}\) trên trục Ox.

Trên hình đã mô tả đầy đủ về Hệ trục tọa độ. Trục ngang chứa \(\vec{i}\) gọi là trục hoành, trục dọc chứa \(\vec{j}\) gọi là trục tung và được kí hiệu là Oxy hoặc \((O;\vec{i};\vec{j})\)

Đối với hệ trục tọa độ \((O;\vec{i};\vec{j})\), nếu \(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\) thì cặp số \((x;y)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{a}\), kí hiệu là \(\vec{a}=(x;y)\) hoặc \(\vec{a}(x;y)\). x là hoành độ, y là tung độ của vectơ \(\vec{a}\)

Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét:

\(\vec{a}=(x;y)=\vec{b}=(x';y')\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y' \end{matrix}\right.\)

Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của vectơ \(\vec{OM}\) chính là tọa độ của điểm \(M(x_M;y_M)\)

Một cách tổng quát, ta có:

Với hai điểm \(M(x_M;y_M)\) và \(N(x_N;y_N)\) thì ta có:

\(\vec{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M)\)

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

\(x_M=\frac{x_a+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\)

• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

\(x_G=\frac{x_a+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\)

Bài 1:

Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau, nếu sai hãy giải thích:

1. Hai vectơ \(\vec{a}(3;1)\) và vectơ \(\vec{b}(1;3)\) là hai vectơ bằng nhau.

2. Hai vectơ bằng nhau khi chúng có hoành độ và tung độ bằng nhau.

3. Vectơ \(\vec{a}\) cùng phương với vectơ \(\vec{b}\) nếu vectơ \(\vec{a}\) có tung độ bằng 0.

4. Hai vectơ cùng phương khi hoành độ của vectơ này bằng k lần hoành độ của vectơ kia, tung độ của vectơ này bằng -k lần tung độ vectơ kia.

Hướng dẫn:

Câu 1 là sai vì chúng chỉ có độ lớn bằng nhau, chứ hai vectơ không bằng nhau.

Câu 2 là câu đúng.

Câu 3 là câu sai, vì nếu cùng phương chúng sẽ tỉ lệ hoành và tung theo hệ số k nào đó.

Câu 4 là câu sai vì chúng tỉ lệ theo k hoặc -k chứ không phải hoành là k, tung là -k.

Bài 2: 

Biểu diễn các vectơ sau lên cùng một mặt phẳng tọa độ

\(\vec{a}=-2\vec{i}\), \(\vec{b}=3\vec{j}\), \(\vec{c}=2\vec{i}-\vec{j}\), \(\vec{d}=\frac{1}{2}\vec{i}+3\vec{j}\)

Hướng dẫn:

Bài 3: 

Chứng minh 3 điểm \(A(-3;4);B(1;1);C(9;-5)\) thẳng hàng.

Hướng dẫn:

Để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta viết các vectơ \(\vec{AB};\vec{AC}\) rồi xác định hệ số k sao cho hoành và tung của \(\vec{AB}\) đúng bằng k lần hoành và tung của \(\vec{AC}\).

Thật vậy, \(\vec{AB}=(4;-3)\)

\(\vec{AC}=(12;-9)\)

Như vậy, hệ số k được xác định là \(k=3\). Vậy 3 điểm A, B, C thằng hàng.

Bài 4: 

Trong mặt phẳng tọa độ. Cho 3 điểm \(A(1;2); B(4;1);C(5;-2)\). 

1. Tìm tọa độ trung điểm M của AC.

2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

3. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn:

1. Do M là trung điểm của AC nên \(x_M=\frac{x_A+x_C}{2},y_M=\frac{y_A+y_C}{2}\)

\(\Leftrightarrow x_M=\frac{1+5}{2},y_M=\frac{2+(-2)}{2}\)\(\Leftrightarrow x_M=3,y_M=0\Leftrightarrow M(3;0)\)

2. G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3},y_M=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\)

\(\Leftrightarrow x_G=\frac{1+4+5}{3},y_G=\frac{2+1+(-2)}{3}\)\(\Leftrightarrow x_G=\frac{10}{3},y_G=\frac{1}{3}\Leftrightarrow G \left ( \frac{10}{3};\frac{1}{3} \right )\)

3. ABCD là hình bình hành, suy ra \(\vec{AB}=\vec{DC}\)

Mà \(\vec{AB}=(4-1;1-2)\Leftrightarrow \vec{AB}=(3;-1)\)

Suy ra \(\left\{\begin{matrix} x_D=5-3\\ y_D=-2-(-1) \end{matrix}\right.\)

Vậy \(D(2;-1)\)

Sau khi chúng ta đã đi về khái niệm về các vectơ, bài học cuối chương I sẽ là bài Hệ trục tọa độ, khái niệm này các em đã học từ lớp 7, trong bài học chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn, nhiều khía cạnh hơn nội dung này.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 1 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho 3 điểm \(A(2;1);B(4;-3);C(5;-1)\). Tọa độ trọng tâm G của tam giác là?

   

  • A. \(G\left ( \frac{11}{3};-1 \right )\)
  • B. \(G\left ( \frac{11}{3};1 \right )\)
  • C. \(G\left ( \frac{13}{3};1 \right )\)
  • D. \(G\left ( -\frac{13}{3};1 \right )\)

• Câu 2:

  Cho hai điểm \(A(1;1);B(-3;0)\). Tọa độ điểm C đối xứng với A qua B là:

  • A. \(C(1;-2)\)
  • B. \(C(-2;4)\)
  • C. \(C(-7;-1)\)
  • D. \(C(5;2)\)

• Câu 3:

  Cho \(\vec{a}=\frac{1}{4}\vec{i}+k\vec{j}; \vec{b}=2\vec{i}\). Giá trị của k để hai vectơ trên cùng phương là:

  • A. \(k=8\)
  • B. \(k=4\)
  • C. \(k=2\)
  • D. \(k=0\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1.44 trang 42 SBT Hình học 10

Bài tập 1.45 trang 42 SBT Hình học 10

Bài tập 1.46 trang 42 SBT Hình học 10

Bài tập 1.47 trang 42 SBT Hình học 10

Bài tập 29 trang 30 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 30 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 31 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 32 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 33 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 34 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 35 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 36 trang 31 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.