Hình học 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Chúng ta cùng đi sang bài toán minh họa sau:

Hình trên mô tả cách cộng hai vectơ.

Không như cộng đại số các đoạn thẳng, khi cộng hai vectơ, đầu tiên ta xác định ngọn của một vectơ, rồi từ đó, ta dựng giá của vectơ thứ hai đi qua ngọn của vectơ đầu tiên. 

Sau đó, ta dùng tính chất hai vectơ bằng nhau để ta chập ngọn của vectơ thứ nhất với gốc của vectơ tứ hai.

Sau cùng ta nối gốc của vectơ thứ nhất với ngọn của vectơ bằng với vectơ thứ hai để được tổng hai vectơ.

• Định nghĩa:
  • Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định điểm B và C sao cho \(\vec {AB}=\vec {a}\); \(\vec {BC}=\vec {b}\). Khi đó \(\vec {AC}\) là tổng của hai vectơ  \(\vec a\) và \(\vec b\).
  • Ta viết: \(\vec {AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

Ta có các tính chất sau:

• Tính chất giao hoán: \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\).
• Tính chất kết hợp: \((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\).
• Tính chất vectơ-không \(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\).

a) Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất ki, ta luôn có: 

\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)

b) Quy tắc hình bình hành

Cho ABCD là hình bình hành, ta luôn có:

\(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\)

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\)
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\)

Nếu tổng của hai vectơ  \(\vec a\) và \(\vec b\) là vectơ không, thì ta nói vectơ  \(\vec a\) là vectơ đối của vectơ  \(\vec b\), hoặc ngược lại  vectơ \(\vec b\) là vectơ đối của vectơ  \(\vec a\)

Định nghĩa:

• Vectơ đối của vectơ \(\vec a\) là vectơ ngược hướng với  vectơ \(\vec a\) và có cùng độ lớn với vectơ \(\vec a\).
• Vectơ đối của vectơ-không cũng là chính nó.

Chúng ta đi sang bài toán minh họa sau:

Tương tự với phương pháp cộng đã nêu ở trên, ta tính hiệu hai vectơ bằng cách cộng với vectơ đối.

Ta có quy tắc hiệu vectơ như sau: 

Nếu \(\vec{MN}\) là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kì, ta luôn luôn có:

\(\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}\)

Bài 1: 

Chứng minh rằng trong một tứ giác nếu \(\vec{AB}=\vec{CD}\) thì \(\vec{AC}=\vec{BD}\)

Hướng dẫn:

Xét trường hợp A, B, C, D thẳng hàng, ta có 

Nhận thấy rằng, khi \(\vec{AB}=\vec{CD}\), theo phép cộng vectơ, ta cộng cho đại lượng vectơ \(\vec{BC}\) ta sẽ ra đpcm.

Xét tứ hình bình hành ABDC bằng hình vẽ sau, ta có:

Ta nhận thấy rằng, theo giả thiết \(\vec{AB}=\vec{CD}\) thì AB song song với CD và AB=CD. Ta dễ dàng suy ra được \(\vec{AC}=\vec{BD}\) (dpcm)

Bài 2: 

Xác định tính đúng sai của mệnh đề: \(|\vec{a}+\vec{b}|=\vec{a}+\vec{b}\)

Hướng dẫn: 

Nhận thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi 2 vectơ trên cùng hứng ta mới được cộng đại số như vậy

Còn với trường hợp ngược hướng thì hai vectơ sẽ bị triệt tiêu nhau thành dấu "-"

Đối với hai vectơ không cùng phương, ta có hình vẽ sau:

Như hình trên, ta thấy điều khẳng định trên là sai!

Bài 3: 

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: \(\vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{0}\)

Hướng dẫn:

Như hình vẽ, ta thấy :\(\vec{DA}-\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{CB}+\vec{BD}+\vec{DC}=\vec{CC}=\vec{0}\)

Bài 4:

Cho hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) cùng chung một điểm đặt như hình vẽ. Biết rằng \(\vec{F_1}=\vec{F_2}=200N\). Hãy tìm cường độ lực tổng hợp của chúng.

Hướng dẫn:

Cường độ tổng hợp lực đó chính là \(\vec{OA}\), và có độ lớn cũng là 100N

Bài 5: 

Chứng minh rằng \(\vec{AB}=\vec{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của AD và BC trùng nhau.

Hướng dẫn:

Ta xét 2 trường hợp.

Trường hợp 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng

Với trường hợp này, ta dễ dàng thấy được AD và BC có cùng trung điểm M.

Chứng minh bài toán dễ dàng bằng phương pháp cộng đại số.

Trường hợp AB song song CD

Trường hợp này hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ta có dpcm.

Bài giảng Tổng và hiệu hai vectơ giúp các em nắm được cách xác định tổng, hiệu hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, các tính chất của tổng véctơ, tính chất của véctơ - không.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 1 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Vectơ tổng hợp của hai vectơ như hình vẽ sau có độ lớn là? (giả sử ô vuông có đơn vị là cm)

  

   

   

  • A. 0cm
  • B. 3cm
  • C. 6cm
  • D. 9cm

• Câu 2:

  Vectơ tổng hợp của hai vectơ trong hình sau có độ lớn là? (giả sử đơn vị của ô vuông là 1cm)

  

   

  • A. 1cm
  • B. 5cm
  • C. 7cm
  • D. 12cm

• Câu 3:

  Cho hình bình hành ABCD tâm I, hãy xác định khẳng định sai:

  

   

  • A. \(\vec{AB}+\vec{BD}=\vec{BC}\)
  • B. \(\vec{AD}+\vec{AB}=\vec{AI}+\vec{IC}\)
  • C. \(\vec{IA}+\vec{IB}+\vec{IC}+\vec{ID}=\vec{0}\)
  • D. \(|\vec{AB}+\vec{AD}|=|\vec{BD}|\)

• Câu 4:

  Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp các điểm O thỏa mãn \(\vec{OA}=\vec{OB}\) là:

   

  • A. Trung điểm của AB
  • B. Là 1 khoảng cách sao cho OA=2OB
  • C. Mọi vị trí
  • D. Không tồn tại O

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 9 trang 14 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 10 trang 14 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 11 trang 14 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 12 trang 14 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 13 trang 15 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 14 trang 17 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 15 trang 17 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 16 trang 17 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 17 trang 17 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 18 trang 17 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 19 trang 18 SGK Hình học 10 NC

Bài tập 20 trang 18 SGK Hình học 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.