Toán 10 Ôn tập chương 6 Cung Góc lương giác và Công thức lượng giác

Các kiến thức cần nhớ

                \({180^ \circ } = \pi {\rm{ }}rad\)

Các góc đặc biệt \(0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2};\pi \)

\(\begin{array}{l} 1.\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\\ \cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\\ \tan \left( {\alpha  + k\pi } \right)\;\;\; = \tan \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\\ \cot \left( {\alpha  + k\pi } \right)\;\;\; = \cot \alpha \;\;\;\left( {k \in Z} \right) \end{array}\) \(2.\left| {\sin \alpha } \right| \le 1\;\;\;\;\;\left| {\cos \alpha } \right| \le 1\)

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác

1. Phương pháp: 

Muốn chứng minh 1 đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác ở 1 vế thành biểu thức lượng giác ở vế kia.

          Để ý rằng 1 biểu thức lượng giác có thể biến đổi thành nhiều dạng khác nhau. Ví dụ: 

\({\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\) (CT LG cơ bản)

\({\sin ^2}2x = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 4x} \right)\) (CT hạ bậc)

\({\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\) (CT nhân đôi)

         Tùy theo mỗi bài toán, ta chọn CT thích hợp để biến đổi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh 

\(a.\;{\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b.\;{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \)

Hướng dẫn: Áp dụng CT LG cơ bản và HĐT \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab{\rm{      }}{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)

\(a.\;{\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \)

\( = 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha \)

\(b.\;{\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)^3} + {\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^3} = {\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^3} - 3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha .{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)\)

\( = 1 - 3si{n^2}\alpha .co{s^2}\alpha  = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \)

Ví dụ 2: Chứng minh

\(a.\cos 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a + \sin 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \frac{3}{4}\sin 4a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b.\;\cos 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a + \sin 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a\)

Hướng dẫn: Áp dụng CT nhân ba – CT cộng \(4{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = 3\sin a - \sin 3a\;\;\;\;\;\;\;4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \cos 3a + 3\cos a\)

\(\begin{array}{l}
a.\cos 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a + \sin 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a = \cos 3a\frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4} + \sin 3a\frac{{\cos 3a + 3\cos a}}{4}\\
 = \frac{1}{4}\left[ {\cos 3a\left( {3\sin a - \sin 3a} \right) + \sin 3a\left( {\cos 3a + 3\cos a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left( {3\sin a.\cos 3a - \cos 3a.\sin 3a + \sin 3a.\cos 3a + 3.\cos a.\sin 3a} \right)\\
 = \frac{3}{4}\left( {\sin a.\cos 3a + \cos a.\sin 3a} \right) = \frac{3}{4}\sin \left( {a + 3a} \right) = \frac{3}{4}\sin 4a
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b.\cos 3a.{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}a + \sin 3a.{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}a = \frac{1}{4}\left[ {\cos 3a\left( {\cos 3a + 3\cos a} \right) + \sin 3a\left( {3\sin a - \sin 3a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}3a + 3\cos 3a.\cos a + 3.\sin a.\sin 3a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}3a} \right)\\
 = \frac{1}{4}\left[ {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}3a - {\rm{si}}{{\rm{n}}^3}3a + 3\left( {\cos 3a.\cos a + \sin a.\sin 3a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left[ {\cos 6a + 3\cos \left( {3a - a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{4}\left( {4{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a - 3\cos 2a + 3\cos 2a} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^3}2a
\end{array}\)

Ví dụ 3: Chứng minh

\(\begin{array}{l}
a.\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a - b} \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b\;\\
b.\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{4}\sin 3x\\
c.\tan x.\tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \tan 3x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\end{array}\)

Hướng dẫn: Áp dụng CT biến đổi tích thành tổng

\(a.\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}b - 1 - \left( {2{{\cos }^2}a - 1} \right)} \right] = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}b - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}a\)

\(\begin{array}{l}
b.\sin x.\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{2}\sin x\left( {\cos 2x - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{1}{2}\sin x.\cos 2x - \frac{1}{4}\sin x\\
 = \frac{1}{4}\left( {\sin 3x - \sin x} \right) - \frac{1}{4}\sin x = \frac{1}{4}\sin 3x
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c.\tan x.\tan \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \tan x.\frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan x}}.\frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan x}}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}.\tan x}}\\
 = \tan x.\frac{{\sqrt 3  - \tan x}}{{1 + \sqrt 3 \tan x}}.\frac{{\sqrt 3  + \tan x}}{{1 - \sqrt 3 \tan x}}\\
 = \tan x.\frac{{3 - {{\tan }^2}x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} = \tan 3x
\end{array}\)

Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác

1. Phương pháp

Muốn rút gọn 1 biểu thức lượng giác, ta dung các CTLG để biến đổi biểu thức đã cho.

Muốn tính giá trị của 1 biểu thức lượng giác, ta tìm cách rút gọn biểu thức này. Ngoài việc dùng các CTLG, nên xem xét biểu thức đã cho có dạng gì đặc biệt, từ đó chọn cách giải thích hợp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau

\(\begin{array}{l}
a.A = \;\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
b.\;B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn: Áp dụng CT cung phụ - CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng

a. Ta có \(\;\frac{{2\pi }}{3} - x = \frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
A = \;\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right).\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\\
 = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right).\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\\
 = \sin \left[ {\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos x
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b. B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
 = \cos x + \left[ {\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]\\
 = \cos x + 2\cos x.\cos \frac{{2\pi }}{3} = \cos x + 2\cos x.\left( { - \frac{1}{2}} \right)\\
 = \cos x - \cos x = 0
\end{array}\)

Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ vào:

\(\begin{array}{l}
a.\;A = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\\
b.\;B = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x + a} \right) - 2\cos a.\cos x.\cos \left( {x + a} \right)\\
c.\;C = {\cos ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + a} \right) - 2\sin a.\cos x.\sin \left( {x + a} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích – tích thành tổng và HĐT

\(\begin{array}{l}
a.\;A = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\\
 = 3{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x - 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\
 = 3{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x - 2{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - 2{\cos ^4}x\\
 = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\cos ^4}x\\
 = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = 1,\;\forall x
\end{array}\)

Vậy A không phụ thuộc vào x

\(\begin{array}{l}
b.\;B = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x + a} \right) - \cos a.\left[ {2\cos x.\cos \left( {x + a} \right)} \right]\\
 = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos 2x} \right) + \frac{1}{2}\left[ {1 + \cos \left( {2x + 2a} \right)} \right] - \cos a\left[ {\cos \left( {2x + a} \right) + \cos a} \right]\\
 = 1 + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x + \cos \left( {2x + 2a} \right)} \right] - \cos a.\cos \left( {2x + a} \right) - {\cos ^2}a\\
 = 1 + \cos a.\cos \left( {2x + a} \right) - \cos a.\cos \left( {2x + a} \right) - {\cos ^2}a\\
 = 1 - {\cos ^2}a = {\sin ^2}a,\;\forall x
\end{array}\)

Vậy B không phụ thuộc vào x

\(\begin{array}{l}
c.\;C = {\cos ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + a} \right) - 2\sin a.\cos x.\sin \left( {x + a} \right)\\
 = 1 + \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x - \cos \left( {2x + 2a} \right)} \right] - \sin a\left[ {\sin \left( {2x + a} \right) + \sin a} \right]\\
 = 1 - \sin \left( {2x + a} \right).\sin \left( { - a} \right) - \sin \left( {2x + a} \right).\sin a - {\sin ^2}a\\
 = 1 - {\sin ^2}a = {\cos ^2}a,\;\forall x
\end{array}\)

Vậy C không phụ thuộc vào x

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức

\(\begin{array}{l}
a.A = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\sin 70^\circ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
b.\;B = \sin 20^\circ .\sin 40^\circ .\sin 80^\circ \\
c.C = \cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9}\;
\end{array}\)

Hướng dẫn: Áp dụng CT phụ - CT tổng thành tích–tích thành tổng

\(\begin{array}{l}
a.A = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\sin 70^\circ  = \frac{1}{{\sin 10^\circ }} - 4\cos 20^\circ  = \frac{{1 - 4\cos 20^\circ .\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }}\\
 = \frac{{1 - 2\left( {\cos 30^\circ  - \sin 10^\circ } \right)}}{{\sin 10^\circ }} = \frac{{2\sin 10^\circ }}{{\sin 10^\circ }} = 2
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
b.\;B = \sin {20^^\circ }.\sin {40^^\circ }.\sin {80^^\circ }\\
 = \frac{1}{2}\sin {20^^\circ }\left( {\cos {{40}^^\circ } - \cos {{120}^^\circ }} \right)\\
 = \frac{1}{2}\sin {20^^\circ }.\cos {40^^\circ } + \frac{1}{4}\sin {20^^\circ }
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{1}{4}\left( {\sin {{60}^^\circ } - \sin {{20}^^\circ }} \right) + \frac{1}{4}\sin {20^^\circ }\\
 = \frac{1}{4}\sin {60^^\circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{8}
\end{array}
\end{array}\)

\(c.C = \cos \frac{\pi }{9} + \left( {\cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9}} \right) = \cos \frac{\pi }{9} + 2\cos \frac{{6\pi }}{9}.\cos \frac{\pi }{9} = \cos \frac{\pi }{9} - \cos \frac{\pi }{9} = 0\)

Bài học Ôn chương 6 sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ kiến thức của Cung và góc lượng giác, Công thức lượng giác cũng như phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến lượng giác 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương VI - Toán 10 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tính giá trị các hàm số lượng giác của góc \(\alpha  = \;{240^0}\)                                              

  • A. \(\cos \alpha  = \;\frac{1}{2}\;;\;\;\sin \alpha  = \;\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;;\quad \tan \alpha \; = \;\sqrt 3 \;;\;\;\cot \alpha  = \;\frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
  • B. \(\cos \alpha  = \; - \frac{1}{2}\;;\;\;\sin \alpha  = \; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;;\quad \tan \alpha \; = \; - \sqrt 3 \;;\;\;\cot \alpha  = \; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
  • C. \(\cos \alpha  = \; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;;\;\;\sin \alpha  = \;\frac{{\sqrt 2 }}{2}\;;\quad \tan \alpha \; = \; - 1\;;\;\;\cot \alpha  = \; - 1\)
  • D. \(\cos \alpha  = \;\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;;\;\;\sin \alpha  = \; - \frac{1}{2}\;;\quad \tan \alpha \; = \; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\;;\;\;\cot \alpha  = \; - \sqrt 3 \)

• Câu 2:

  Tính giá trị biểu thức \(S = \;\frac{{4 - 2{{\tan }^2}{{45}^0} + {{\cot }^4}{{60}^0}}}{{3{{\sin }^3}{{90}^0} - 4{{\cos }^2}{{60}^0} + 4\cot {{45}^0}}}\)

  • A. -1
  • B. \(1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
  • C. \(\frac{{19}}{{54}}\)
  • D. \( - \frac{{25}}{2}\)

• Câu 3:

  Đơn giản biểu thức \(D = \tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}\)

  • A. \(\frac{1}{{\sin x}}\)
  • B. \(\frac{1}{{\cos x}}\)
  • C. cosx
  • D. sinx

• Câu 4:

  Đơn giản biểu thức \(E = \cot x + \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}\)

  • A. \(\frac{1}{{\sin x}}\)
  • B. \(\frac{1}{{\cos x}}\)
  • C. cosx
  • D. sinx

• Câu 5:

  Tính giá trị của biểu thức \(P = \tan \alpha  - \tan \alpha {\sin ^2}\alpha \) nếu cho \(\cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\;\quad (\;\pi  < \;\alpha \; < \;\frac{{3\pi }}{2}\;)\) 

  • A. \(\frac{{12}}{{25}}\)
  • B. \( - \sqrt 3 \)
  • C. \(\frac{1}{3}\)
  • D. 1

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương VI - Toán 10 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 12 trang 157 SGK Đại số 10

Bài tập 1 trang 155 SGK Đại số 10

Bài tập 14 trang 157 SGK Đại số 10

Bài tập 6.42 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.43 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.44 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.45 trang 191 SBT Toán 10

Bài tập 6.46 trang 192 SBT Toán 10

Bài tập 6.47 trang 192 SBT Toán 10

Bài tập 6.48 trang 192 SBT Toán 10

Bài tập 6.49 trang 192 SBT Toán 10

Bài tập 6.50 trang 192 SBT Toán 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.