Bài 53 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 53

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {{x + 1} \over {x - 2}}\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm \(A\) của đồ thị với trục tung.
c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm \(A\).

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Tiệm cận đứng \(x = 2\); tiệm cận ngang \(y = 1\).

\(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\)

Điểm đặc biệt: \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right),\,B\left( { - 1;0} \right)\)

Đồ thị nhận điểm \(I(2;1)\) làm tâm đối xứng.

b) Giao điểm của đồ thị với trục tung \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right)\)

\(y'\left( 0 \right) =  - {3 \over 4}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là: 

\(y + {1 \over 2} =  - {3 \over 4}\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y =  - {3 \over 4}x - {1 \over 2}\)

c) Giả sử \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \(A\) ta có:

\(y'\left( {{x_M}} \right) =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_M} - 2} \right)}^2}}} =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 2} \right)^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} - 2 = 2 \hfill \cr
{x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} = 4 \hfill \cr
{x_M} = 0\,\,(\text{ loại vì }{x_A} = 0) \hfill \cr} \right.\)

\(y\left( 4 \right) = {5 \over 2}\). Vậy \(M\left( {4;{5 \over 2}} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) là: \(y - {5 \over 2} =  - {3 \over 4}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y =  - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}\)