Bài 50 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

 Bài 50. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = {{x + 1} \over {x - 1}}\)                       b) \(y = {{2x + 1} \over {1 - 3x}}\)

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

\(y = {{\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \((0;-1)\) cắt trục hoành tại điểm \((-1;0)\)
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ + }} y =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = {1 \over 3}\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  - {2 \over 3}\) nên \(y =  - {2 \over 3}\) là tiệm cận ngang.

\(y = {{\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne {1 \over 3}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\left( {{1 \over 3}; + \infty } \right)\)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;1)\) và cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\).
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I\left( {{1 \over 3};{1 \over 2}} \right)\) làm tâm đối xứng.