Bài 1 trang 126 SGK Giải tích 12

Đề bài

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Hướng dẫn giải

a) Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực \(K\)

Hàm số \(F(x)\) gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(K\) nếu \(∀x ∈ K\) ta có \(F’(x) = f(x).\)

b) Phương pháp tính nguyên hàm toàn phần dựa trên cơ sở định lí:

Nếu hai hàm số  \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) có đạo hàm liên tục trên K thì :

 \(\int {u(x).v'(x)dx = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx} } \) (3)

Để tính nguyên hàm toàn phần ta cần phân tích \(f(x)\) thành \(g(x).h(x)\),

- Chọn một nhân tử đặt bằng \(u\) còn nhân tử kia đặt là \(v’\)

- Tìm \(u’\) và \(v\),

- Áp dụng công thức trên, ta đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới đơn giản hơn.

Ta cần chú ý các cách đặt thường xuyên như sau:

\(\int {P(x){e^x}dx} \) 

 \(\int {P(x)\sin xdx} \)

 \(\int P(x)lnx dx \)

\(u\)

\(P(x)\)

\(P(x)\)

\(P(x)\)

\(ln(x)\)

\(dv\)

\(e^xdx\)

\(sinxdx\)

\(cosx dx\)

\(P(x) dx\)

\(\int {P(x){e^x}dx} \) 

 \(\int {P(x)\sin xdx} \)

 \(\int P(x)lnx dx \)

\(u\)

\(P(x)\)

\(P(x)\)

\(P(x)\)

\(ln(x)\)

\(dv\)

\(e^xdx\)

\(sinxdx\)

\(cosx dx\)

\(P(x) dx\)

 Ví dụ:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = (3x^3- 2x) lnx\)

Giải

Đặt \(u = lnx\Rightarrow u' = {1 \over x}\) 

\( v' = 3{x^3} - 2x \Rightarrow v = {3 \over 4}{x^4} - {x^2}. \)

Suy ra: 

\(\eqalign{
& \int {f(x)dx = ({3 \over 4}} {x^4} - {x^2})\ln x - \int ({{3 \over 4}} {x^3} - x)dx \cr
& = ({3 \over 4}{x^4} - {x^2})\ln x - {3 \over {16}}{x^4} + {1 \over 2}{x^2} + C \cr} \)