Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt  \(\widehat {POM} = \alpha \)

và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha  \le {\pi  \over 3},R > 0} \right)\)

Gọi   là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).

a) Tính thể tích của  theo \(α\) và \(R\).      

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích  là lớn nhất.  

Hướng dẫn giải

a) Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, \, \, MP\) và trục hoành.

+) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay   cần tính.

b) Tính được thể tích của khối tròn xoay   theo \(\alpha.\) Khảo sát hàm số \(V=V(\alpha)\) để tìm thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\)

 \( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(OM\) là: \(y=x.\ tan \alpha .\)

Khi đó thể tích của khối tròn xoay là:

 \(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }^2}\alpha dx}  = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{R\cos \alpha }\\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha  = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\\;\;\; = \frac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - {{\cos }^3}\alpha } \right).\;\;\left( {dvtt} \right).\end{array}\)

b) Xét hàm số: \(V (\alpha) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha  - co{s^3}\alpha } \right).\)

Đặt  \( t = \cos \alpha .\)

Với  \(\alpha  \in \left[ {0;\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right].\)

Khi đó ta xét hàm:   \(V\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\)  trên \(\left[ {0;\;\frac{1}{2}} \right].\)

Có:  \(V'\left( t \right) = \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)

 \( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

 \( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi  \(t = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha  = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \alpha  = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy thể tích khối   lớn nhất khi \(\alpha  = \arccos \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)