Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Sự đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
• Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Tiệm cận của đồ thị hàm số. 
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

• Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.

• Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
• Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\)
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác định.
    • Tính \(y' \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right).\)
    • Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m.
    • Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
    • Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.
• Dạng 3:Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu:
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác định D.
    • Tính \(y'\).
    • Tính \(\Delta _{y'}\).
    • Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}>0\) giải tìm m.
• Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu:
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác định D.
    • Tính \(y'\).
    • Tính \(\Delta _{y'}\).
    • Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}\leq 0\) giải tìm m.
• Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.
  • Phương pháp:
    • Tìm tập xác đinh D.
    • Tính \(y'\). 
    • Tính \(\Delta _{y'}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
    • Chứng minh: \(\Delta _{y'}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

• Tìm GTLN - GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
• Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn.

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).

• Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\)
• Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\)

Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu. 
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.

Lời giải:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) 

Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.

Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Lời giải:

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số  \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:


Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].

Lời giải:

Lời giải:

 Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với những câu hỏi củng cố từ cơ bản đến nâng cao. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Toán 12 Ôn tập chương 1 cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Ôn tập chương 1 Ứng dụng đạo hàm đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.   
  • B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và cực đại tại điểm x=1.
  • C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng (0;1).
  • D. Hàm số không có điểm cực đại.

• Câu 2:

  Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)

  • A. \(x=\pm 1\)
  • B. \(x=- 1\)
  • C. \(x= 1\)
  • D. \(x=0\)

• Câu 3:

  Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].

  • A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\)
  • B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\)
  • C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\)
  • D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\)

• Câu 4:

  Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1).
  • B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\).   
  • C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)   
  • D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

• Câu 5:

  Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\)

  • A. M=5
  • B. M=4
  • C. M=6
  • D. M=7

• Câu 6:

  Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

  • A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)
  • B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
  • C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
  • D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

• Câu 7:

  Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x₁ điểm cực tiểu x₂ sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\)

  • A. \(m>0\)
  • B. \(m<0\)
  • C. \(m=0\)
  • D. Không tồn tại m

• Câu 8:

  Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].

  • A. \(m\geq 1\)
  • B. \(m \leq 1\)
  • C. \(0\leq m \leq 1\)
  • D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)

Câu 9- Câu 24: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Ôn tập chương 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.