Bài 4 trang 74 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm

b) Phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

Sử dụng các điều kiện của a, b để phương trình bậc hai có nghiệm \(\left( {\Delta  \ge 0} \right)\), vô nghiệm \(\left( {\Delta  < 0} \right)\) và điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên \(\Delta \) là số chính phương.

Lời giải chi tiết

Không gian mẫu là \(Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\). Số kết quả có thế có thể có là \(6\) (hữu hạn); các kết quả đồng khả năng.

Ta có bảng:

b

1

2

3

4

5

6

∆ = b² - 8

-7

-4

1

8

17

28

b

1

2

3

4

5

6

∆ = b² - 8

-7

-4

1

8

17

28

a) Phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(∆ = b^2 - 8 ≥ 0\) (*). Vì vậy nếu \(A\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm"

thì \(A =\left\{{3, 4, 5, 6}\right\}, n(A) = 4\) và \(P(A)\) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\).

b) Biến cố \(B\): "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) vô nghiệm" là biến cố \(B\), do đó theo qui tắc cộng xác suất ta có \(P(B) = 1 - P(A)\) = \(\frac{1}{3}\).

c) Nếu \(C\) là biến cố: "Xuất hiện mặt \(b\) chấm sao cho phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\) có nghiệm nguyên" thì \(C = \left\{{3}\right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 1\).

Thử lại ta có khi \(b=3\) thì phương trình trở thành \({x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{1}{6}.\)