Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai chuẩn nhất

Trong bài viết này sẽ gửi đến các bạn học lý thuyết về dấu của tam thức bậc hai toán 10 chuẩn nhất, cùng với đó sẽ là các bài tập tự luận và trắc nghiệm dấu của tam thức bậc hai toán 10 giúp bạn nắm vững kiến thức lý thuyết hơn. Cùng tìm hiểu ngay nhé!

A. LÝ THUYẾT

I. Tam thức bậc hai

1. Khái niệm

- Đối với \(x\), tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(ax^2 + bx+c\).

Trong đó:

• a, b, c là các số được cho trước \((a\neq 0)\)
• x là ẩn

2. Nghiệm của tam thức bậc hai

- Nghiệm phương trình \(ax^2+bx+c=0\) được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

\(f(x) = ax^2+bx+c\) với:

• \(\Delta =b^2-4ac\) là biệt thức của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+bx+c\)
• \(\Delta =b'^2-ac\) là biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+bx+c\)

- Ví dụ: Cho bốn phương trình: \(f(x) = x^2 (x-2)\); \(f(x) = x^2-4\); \(f(x)=(x-5)^2\); \(f(x)=(x-3)(x-7)\). Trong 4 phương trình có tất cả bao nhiêu tam thức bậc hai?

Đáp án đúng: 3

II. Dấu của tam thức bậc 2

 Cho tam thức \(f(x) =ax^2+bx+c \ (a\neq 0)\); \(\Delta =b^2-4ac\). Ta có ba trường hợp sau:

1. Trường hợp 1: \(\Delta >0, \ f(x) = 0\) có hai nghiệm \(x_1; x_2\) phân biệt \((x_1

2. Trường hợp 2: \(\Delta =0, \ f(x) =0\) có nghiệm kép \(x=- \dfrac {b}{2a}\)

3. Trường hợp 3: \(\Delta <0, \ f(x) =0\) vô nghiệm

III. Mở rộng: Bài toán tìm m để bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện

Cho \(f(x) =ax^2+bx+c \ (a\neq 0)\)

- TH1: \(f(x) > 0 \forall x\in \mathbb{R}; \ (dương \ trên \ toàn \ trục \ số) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \Delta <0 \\ & a>0\end{matrix}\right.\)

- TH2: \(f(x) < 0 \forall x\in \mathbb{R}; \ (âm \ trên \ toàn \ trục \ số) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \Delta <0 \\ & a<0\end{matrix}\right.\)

- TH3: \(f(x) \geq 0\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\Delta \leq 0 \\ & a>0\end{matrix}\right.\)

- TH4: \(f(x) \leq 0 \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &\Delta \leq 0 \\ & a<0\end{matrix}\right.\)

IV) Phương pháp làm bài xét dấu của tam thức bậc hai

=> Phương pháp giải: Dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó

- Đối với đa thức bậc cao \(P(x)\) ta làm như sau:

• Phân tích \(P(x)\) thành tích các tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất
• Tiến hành lập bảng xét dấu \(P(x)\). Từ đó suy ra dấu

- Đối với phân thức \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\), \(Q(x)\) là các đa thức thì ta làm như sau:

• Phân tích \(P(x), Q(x)\) thành tích các tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất
• Lập bảng xét dấu \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) rồi từ đó suy ra dấu

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

I. Bài tập tự luận dấu của tam thức bậc 2 lớp 10

Bài 1: Tìm nghiệm

a) \(f(x) =x^2 + x-42\)

=> Giải: \(f(x) = 0 \Leftrightarrow\) x= 6 hoặc x= -7

b) \(g(x) = -2x^2+3x+2\)

=> Giải: \(g(x) = 0 \Leftrightarrow\) x=2 hoặc x= \(- \dfrac{1}{2}\)

c) \(f(x)=\dfrac {(7-4x)(x^2+x-2)}{2x^2-3x+2}\)

- Ta đặt:

• g(x) = 0 = x= \(\dfrac {7}{4}\)
• h(x) = 0 = \(x^2 + x-2 =0 \Leftrightarrow \) x=1 hoặc x=-2
• k(x) = 0 = \(2x^2-3x+2\neq0\)

- Từ các phương trình trên ta có bảng xét dấu sau:

- Kết luận: 

• \(f(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty ;-2)\cup (1;\dfrac{7}{4})\)
• \(f(x)<0\Leftrightarrow x\in(-2 ;-1)\cup (\dfrac{7}{4};+\infty )\)

d) \((1-2x)(x^2+x-30)(x^2-4x+4)\leq 0\)

- Ta đặt:

• g(x)=0 = 1-2x \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\) 
• h(x)=0 = \(x^2+x-30 \Leftrightarrow \) x=5 hoặc x= -6
• k(x)=0 = \(x^2-4x+4\Leftrightarrow x=2\)

- Từ các phương trình trên ta có bảng xét dấu sau:

- Kết luận: \(f(x)\leq 0\Leftrightarrow x\in[-6;\dfrac{1}{2}]\cup [5;+\infty )\)

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức sau luôn không âm với mọi \(x\in\mathbb{R}\): \(g(x)=(m+2)x^2-2(m+2)x+m+4\)

=> Bài giải: 

Yêu cầu \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \Delta\leq 0\\ & a>0 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \Delta \leq 0\\ & m>-2 \end{matrix}\right.\)

\(\Delta =[2(m+2)]^2-4(m+2)(m+4)\leq 0 \)

   = \(4(m^2+4m+4)-(4m+8)(m+4)\leq 0\)

   = \(4m^2+16m+16-(4m^2+16m+8m+32)\leq0\)

   = \(4m^2+16m+16-4m^2-16m-8m-32\leq 0\)

   = \(-8m-16\leq 0\)

   = \(-8(m+2)\leq 0\) 

Kết luận: \(m\in[-2;+\infty )\)

II. Bài tập trắc nghiệm dấu của tam thức bậc hai

Câu 1: Bất phương trình \(\sqrt{(x+5)(3-x)}\leq x^2+2x+a\) có nghiệm đúng với mọi \(x\in[-5;3]\) thì tham số a phải thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A. \(a\geq 3\)

B. \(a\geq 4\)

C. \(a\geq 5\)

D. \(a\geq 6\)

Câu 2: Tìm m để phương trình \(\sqrt{x^2-2m}+2\sqrt{x^2-1}=x\) vô nghiệm

A. m= 0

B. \(m\leq \dfrac {2}{3}\)

C. \(0\leq m\leq \dfrac {2}{3}\)

D. \(m< 0\) hoặc \(m> \dfrac {2}{3}\)

Câu 3: Cho phương trình \(x^2-mx+1-3m=0\), để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì giá trị của m là bao nhiêu?

A. \(m>2\)

B. \(m<2\)

C. \(m>\dfrac {1}{3}\)

D. \(m<\dfrac {1}{3}\)

Câu 4: Cho phương trình \(\left | 2x^2-3x-2 \right |=5a-8x-x^2\). Để phương trình có nghiệm duy nhất thì giá trị của tham số a phải bằng bao nhiêu?

A. a=15

B. a= -12

C. \(a=-\dfrac {56}{79}\)

D. \(a=-\dfrac {49}{60}\)

Câu 5: Cho phương trình: \(\left | 10x-2x^2-8 \right |=x^2-5x+a\), để phương trình trên có bốn nghiệm phân biệt thì giá trị của a là bao nhiêu?

A. a=1

B. \(a\in (1;10)\)

C. \(4< a< \dfrac {43}{4}\)

D. \(a\in[4;\dfrac {45}{4}]\)

Câu 6: Cho f(x)= \(ax^2+bx+c(a\neq0)\). Điều kiện để \(f(x)\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}\) là?

A. \(\left\{\begin{matrix} &a<0 \\ & \Delta\leq 0\end{matrix}\right.\)

B. \(\left\{\begin{matrix} &a<0 \\ & \Delta\geq 0\end{matrix}\right.\)

C. \(\left\{\begin{matrix} &a<0 \\ & \Delta< 0\end{matrix}\right.\)

D. \(\left\{\begin{matrix} &a<0 \\ & \Delta> 0\end{matrix}\right.\)

Câu 7: Cho f(x)= \(ax^2+bx+c(a\neq0)\) có \(\Delta = b^2-4ac\). Khi đó mệnh đề nào đề nào dưới đây là đúng?

A. \(f(x)>0, \forall x\in\mathbb{R}\)

B. \(f(x)<0, \forall x\in\mathbb{R}\)

C. f(x) không đổi dấu

D. Tồn tại x để f(x)=0

Câu 8: Cho tam thức bậc hai f(x)=\(2x^2+2x+5\) nhận giá trị dương khi và chỉ khi?

A. \(x\in(0;+\infty )\)

B. \(x\in(-2;+\infty )\)

C. \(x\in\mathbb{R}\)

D. \(x\in(-\infty ;2)\)

Câu 9: Tam thức bậc hai f(x)= \(x^2+(1-\sqrt{3})x-8-5\sqrt{3}\) sẽ:

A. Dương với mọi \(x\in\mathbb{R}\)

B. Âm với mọi \(x\in\mathbb{R}\)

C. Âm với mọi \(x\in(-\infty ;1)\)

D. Âm với mọi \(x\in(-2-\sqrt{3};1+2\sqrt{3})\)

Câu 10: Cho ba tam thức bậc hai sau:

- \(f(x)=2x^2-3x+4\)

- \(g(x)=-x^2+3x-4\)

- \(h(x)=4-3x^2\)

Hãy cho biết số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là bao nhiêu?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem thêm >>> Giải bài tập SGK Dấu của tam thức bậc 2 lớp 10

Trên đây là toàn bộ kiến thức và bài tập về dấu của tam thức bậc hai mà muốn gửi đến các bạn học, mong rằng những kiến thức lý thuyết và bài tập trên đây sẽ giúp ích được nhiều cho quá trình học tập của các bạn. Và nếu thấy hay đừng quên like và share bài viết, chúc các bạn học tập tốt <3