Tổng hợp lý thuyết đại cương về phương trình cần nhớ

Trong bộ môn Toán 10, học sinh sẽ được học bài đại cương về phương trình để hiểu được phương trình là gì trước khi làm đến các dạng phương trình tuyến tính, phương trình trùng phương. Trong bài viết dưới đây, cunghocvui.com sẽ tổng hợp lý thuyết về chủ đề này. 

A. Lý thuyết 

I. Phương trình cơ bản 

1. Phương trình một ẩn 

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng \(f(x) = g(x)\)

Trong đó: 

+ \(f(x)\), \(g(x)\) là những biểu thức của x.

+ \(f(x)\) là vế trái. 

+ \(g(x)\) là vế phải. 

+ Nếu tồn tại số thực \(x_o\) sao cho \(f(x_o) = g(x_o)\) thì \(x_o\) là nghiệm của phương trình \(f(x) = g(x)\).

2. Phương trình nhiều ẩn

Phương trình chứa hai hay nhiều ẩn (như ẩn x, y, z...). 

3. Phương trình chứa tham số

Trong các phương trình chứa một hay nhiều ẩn, ngoài các chữ là ẩn số thì có thể có các chữ khác được xem như hằng số, gọi là tham số. 

II. Phương trình tương đương

- Cho hai phương trình:

\(f_x(x) = g_1 (x) (1)\)

\(f_2 (x) = g_2 (x) (2)\)

Hai phương trình gọi là phương trình tương đương, ký hiệu \(f_x (x) = g_1 (x) <=> f_2 (x) = g_2 (x)\)nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau. 

- Định lý: 

+ Nếu h(x) là biểu thức thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình \(f(x) = g(x)\) thì \(f(x) + h(x) = g(x) + h(x) <=> f(x) = g(x)\)

+ Nếu \(h(x)\) thỏa mãn điều kiện xác định và khác 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì \(f(x).h(x) = g(x).h(x) <=> f(x) = g (x)\)

\(\dfrac{f(x)}{h(x)} = \dfrac{g(x)}{h(x)} <=> f(x) = g(x)\)

III. Phương trình hệ quả 

Phương trình \(f_2 (x) = g_2 (x) \) là phương trình hệ quả của phương trình \(f_1 (x) = g_1 (x)\), ký hiệu \(f_1 (x) = g_1 (x)\) => \(f_2 (x) = g_2 (x)\)

Tập nghiệm phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm phương trình thứ hai. 

B. Bài tập 

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình 

*Phương pháp: 

Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của \(f(x), g(x)\) cùng được xác định và các điều kiện khác theo yêu cầu đề bài. 

- \(\sqrt{f(x)}\) xác định là \(f(x) \geq 0\)

- \(\dfrac{1}{f(x)}\) xác định là \(f(x) \neq 0\)

- \(\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}\) xác định là \(f(x) > 0\)

Dạng 2: Giải phương trình bằng phép biển đổi tương đương và hệ quả 

*Phương pháp: 

Thực hiện các phép biển đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho làm đơn giản hơn. Một số phép biển đổi thường dùng như sau:

- Cộng, trừ hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định, thu được phương trình tương đương. 

- Nhân, chia hai vế với biểu thức khác mà không làm thay đổi điều kiện xác định, thu được phương trình tương đương. 

- Bình phương hai vế của phương trình thu được phương trình hệ quả. 

- Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) thu được phương trình tương đương. 

Luyện tập các dạng bài tập cơ bản và nâng cao tại cunghocvui.com.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết chủ đề đại cương về phương trình toán học, rất mong bổ ích đối với độc giả!