Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Rút gọn biểu thức chứa căn là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 9 và cũng là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào 10 tham khảo.

Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn và bài toán liên quan bao gồm đầy đủ lý thuyết, công thức và các dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được điểm số cao trong kì thi vào lớp 10 môn Toán. Bên cạnh bài tập về đường tròn các bạn xem thêm: các định lý Hình học 9, chuyên đề quỹ tích ôn thi vào lớp 10. Nội dung chính của tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Các công thức biến đổi căn thức.
Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức.
Các dạng toán biến đổi căn thức thường gặp.
Phương pháp dùng ẩn phụ để đơn giải hóa bài toán.
Các bài toán về tính tổng dãy có quy luật.
Rút gọn biểu thức chứa một hay nhiều ẩn.

Chuyên đề rút gọn biểu thức lớp 9

Các công thức biến đổi căn thức

$1. \quad \sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{l}A \text { nếu } \mathrm{A} \geq 0 \\ -A \text { nếu } \mathrm{A}<0\end{array}\right.$

$2. \quad \sqrt{A B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} (Với A \geq 0 ; B \geq 0 )$

$3. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ (Với A ≥ B> 0)

$4. \quad \sqrt{A^{2} B}=|A| \sqrt{B} \quad (Với B \geq 0 )$

$5. A \sqrt{B}=\sqrt{A^{2} B}$ (Với $A \geq 0$ ; $B \geq 0$ )

$6. A \sqrt{B}=-\sqrt{A^{2} B}$ (Với A<0 ; $B \geq 0$ )

$7. \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{|B|} \sqrt{A B} \quad (Với A \geq 0 ; B>0 ) \begin{array}{ll}\text { 8. } \frac{A}{\sqrt{B}} & =\frac{A \sqrt{B}}{B} & \text { (Với } B>0 \text { ) }\end{array}$

$9 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm B}=\frac{C(\sqrt{A} \pm B)}{A-B^{2}} \quad (Với A \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}^{2} )$

$10 \quad \frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A} \pm \sqrt{B})}{A-B} \quad (Với \left.A \geq 0 ; B \geq 0 ; \mathrm{A} \neq \mathrm{B}\right)$

$11 (\sqrt[3]{A})^{3}=\sqrt[3]{A^{3}}=A$

* Cách tìm điều kiện trong bài toán chứa căn thức

$1. \sqrt{A} \quad Đ K X Đ: A \geq 0 \quad Ví dụ: \sqrt{x-2018} \quad ĐKXĐ: \quad x \geq 2018$

$2. \frac{A}{B} \quad \boxminus K X Đ: B \neq 0 \quad Ví dụ: \frac{x+4}{x-7} \quad ĐKXĐ: x \neq 7$

$3. \frac{A}{\sqrt{B}} \quad \boxminus K X Đ: B>0 \quad Ví dụ: \frac{x+1}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad x>3$

$4. \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad ĐKXĐ: A \geq 0 ; B>0 \quad$ Ví dụ: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}} \quad ĐKXĐ: \quad\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x>3\end{array} \Leftrightarrow x>3\right.$

$5. \sqrt{\frac{A}{B}} \quad ĐKXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A \leq 0 \\ B<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ B>0\end{array} \quad \text { Ví dụ: } \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\right.\end{array} \quad\right. ĐXĐ: \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+1 \leq 0 \\ x+2<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x+2>0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<-2 \\ x \geq 1\end{array}\right.\right.$

Cho a >0 ta có:

6. $x^{2}>a \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array} \quad\right.$ Ví dụ: $x^{2}>1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x>\sqrt{a} \\ x<-\sqrt{a}\end{array}\right.$

*Dạng 1: Các bài toán biến đổi căn thức thường gặp

Thí dụ 1. (Trích đề thi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh)

Tính giá trị của biểu thức: $A=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}$

Lời giải

Ta có: $\mathrm{A}=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}=2$

* Thí dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)

Cho $\mathrm{E}=(\sqrt[3]{2}+1) \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}$ . Chứng minh rằng E là số nguyên

Lời giải

Ta có:

$\begin{aligned} E &=\sqrt[3]{(\sqrt[3]{2}+1)^{3} \cdot \frac{(\sqrt[3]{2}-1)}{3}}=\sqrt[3]{[2+1+3 \sqrt[2]{2}(\sqrt[3]{2}+1)] \frac{\sqrt[3]{2}-1}{3}}=\sqrt{(8-3 \sqrt{7})^{2}}-\sqrt{(8+3 \sqrt{7})^{2}} \\ &=\sqrt[3]{(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{2}-1)}=\sqrt[3]{2-1}=1 \end{aligned}$

Vậy E là số nguyên

• Thí dụ 3. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh Hòa Bình Năm 2010-2011)

Rút gọn: $A=\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}.$

Lời giải

Đặt $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{M}}. Ta có \mathrm{T}>0 nên \mathrm{T}=\sqrt{\mathrm{T}^{2}}$

$\begin{aligned} & \text { Xét } \mathrm{T}^{2}=(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})-2 \cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}} \cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}+(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}) \\ &=2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{\sqrt{8}-(\sqrt{2}-1)} \\ &=2 \sqrt[4]{8}-2 \sqrt{\sqrt{2}+1} \\ &=2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}) \\ \Rightarrow & \mathrm{T}=\sqrt{2(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1})} \\ \Rightarrow & \mathrm{A}=\sqrt{2} \end{aligned}$