Các trường hợp bằng nhau của tam giác tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, các trường hợp bằng nhau kèm theo một số ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện.

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác mà Download.vn giới thiệu bao gồm các dạng bài tập khác nhau gồm cả có đáp án và tự luyện. Qua đó giúp các em học sinh chuẩn bị tốt kiến thức để đạt kết quả cao cho kỳ thi quan trọng này. Các bài tập được biên soạn với nhiều mức độ khó và nâng cao dần giúp những em rèn luyện tư duy, hệ thống kiến thức bao quát những dạng toán thường gặp.

I. Mục tiêu

Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1. Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau; Nắm được các bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc bằng nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để tạo ra hai tam giác bằng nhau.

2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh

3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.

II. Các tài liệu hỗ trợ

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7

- Hình học nâng cao THCS

- Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học 7

- Bồi dưỡng toán 7

- Nâng cao và phát triển toán 7

III. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

1. Kiến thức cần nhớ

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.

*. Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai góc) bằng nhau ta thường làm theo các bước sau:

- Xét xem hai đoạn thẳng(hay hai góc) là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào.

- Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

- Suy ra hai cạnh (hay hai góc) tương ứng bằng nhau.

*. Để tạo ra được hai tam giác bằng nhau, có thể ta phải vẽ thêm đường phụ bằng nhiều cách:

- Nối hai cạnh có sẵn trên hình để tạo ra một cạnh chung của hai tam giác.

- Trên một tia cho trước, đặt một đoạn bằng một đoạn thẳng khác.

- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đoạn thẳng.

- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng.

Ngoài ra còn nhiều cách khác ta có thể tích luỹ được kinh nghiệm khi giải nhiều bài toán.

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh:

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

AB = DF (gt)

AC = DE (gt)

BC = EF (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c - c - c)

(các cặp góc tương ứng)

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Xét ∆ABC và ∆DFE có:

AB = DF (gt)

(gt)

AC = DE (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (c - g - c)

(góc tương ứng) và BC = EF (cạnh tương ứng)

Lưu ý: Cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Xét ∆ABC và ∆DFE có:

(gt)

AB = DF (gt)

Suy ra ∆ABC = ∆DFE (g - c - g)

(góc tương ứng) và AC = DE, BC = EF (cạnh tương ứng)

Lưu ý:

- Cặp cạnh bằng nhau phải là cạnh tạo nên hai cặp góc bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

- Khi hai tam giác đã chứng minh bằng nhau, ta có thể suy ra những yếu tố tương ứng còn lại bằng nhau.

IV. Các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác vuông

* Trường hợp cạnh góc vuông - cạnh góc vuông (cgv - cgv): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

* Trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn (cgv - gn): Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề ấy cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

* Trường hợp cạnh huyền - góc nhọn (ch - gn): Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

V. Ứng dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác

Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để:

- Chứng minh: hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; ...

- Tính: các độ dài đoạn thẳng; tính số đo góc; tính chu vi; diện tích; ...

- So sánh: các độ dài đoạn thẳng; so sánh các góc; ...

VI. Bài tập hai tam giác bằng nhau

Bài 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC.

Chứng minh: ∆NMB = ∆ NMC.

Bài 2. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: ABE = ACE

Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A = 400 , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.

a. Chứng minh góc EAB = góc DAC.

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE.

c. Giả sử góc DAE = 600. Tính các góc còn lại của tam giác DAE.

Bài 5. Cho tam giác ABC có góc A = 900. Vẽ AD ⊥ AB (D, C nằm khác phía đối với AB) và AD = AB. Vẽ AE ⊥ AC (E, B nằm khác phía đối với AC) và AE = AC. Biết DE = BC. Tính góc BAC.

Bài 6. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng:

a. ∆ABE = ∆ACE

b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Bài 7. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:

a. ∆BDF = ∆EDC.

b. BF = EC.

c. F, D, E thẳng hàng.

d. AD ⊥ FC

Bài 8. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).

a. Chứng minh ∆OAD = ∆OBC

b. So sánh 2 góc CAD và CBD.

Bài 9. Cho ΔABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a. Chứng minh ΔABC = ΔABD

b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh ΔMBD = ΔMBC.

Bài 10. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:

a. ΔAOI = ΔBOI.

b. AB ⊥ OI.

Bài 11. Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.

a. Chứng minh AC // BE.

b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.

Bài 12: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC. Chứng minh: ∆ NMB = ∆ NMC.

Bài 13. Cho DABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc (E thuộc BC). Chứng minh rằng: DABE = DACE

Bài 14. Cho tam giác ABC có góc A = 400 , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.

Bài 15. Cho tam giác ABC (AB < AC) có AM là phân giác của góc A (M thuộc BC). Trên AC lấy D sao cho AD = AB.

a. Chứng minh BM = MD

b. Gọi K là giao điểm của AB và DM. Chứng minh DDAK = DBAC

Bài 16. Cho tam giác ABC vuông ở C, có góc A bằng 600, tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ Ek vuông góc với AB (K thuộc AB), kẻ BD vuông góc với AE (D thuộc AE). Chứng minh:

a. AK = KB

b. AD = BC

Bài 17. Cho tam giác ABC. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với AB. Hai đường thẳng cắt nhau tại D.

a. Chứng minh DABC = DADC

b. Chứng minh DADB = DCBD

c. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh DABO = DCOD

Bài 18. Cho góc xAy khác góc bẹt. Gọi AD là tia tia phân giác của góc xAy.Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với Ay cắt Ay tại C và cắt Ax tại E. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với Ax cắt Ax tại B và cắt Ay tại H. Chứng minh:

a. DABD = DACD

b. DDBE = DDCH

c. DABH = DACE

Bài 19. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và D. Trên tia Oy lấy hai điểm C và E sao cho OD = OE và OA = OB.

a. Chứng minh DODC = DOBE

b. Gọi A là giao điểm của BE và CD. Chứng minh DAOB = DAOC

c. Chứng minh BC vuông góc với OA

Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông tại A. tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. lấy E trên cạnh BC sao cho BE = AB.

a) Chứng minh : Δ ABD = Δ EBD.

b) Tia ED cắt BA tại M. chứng minh : EC = AM

c) Nối AE. Chứng minh : góc AEC = góc EAM.

Bài 21: Cho tam giác ABC vuông góc tại A có góc B = 530.

a) Tính góc C.

b) Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm E. Chứng minh : ΔBEA = ΔBED.

c) Qua C, vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H. CH cắt đường thẳng AB tại F. CMR : ΔBHF = ΔBHC.

d) Chứng minh: ΔBAC = ΔBDF và D, E, F thẳng hàng.

Bài 22: Cho tam giác ABC (AB <AC). Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. kẻ IH vuông góc AB tại H. IK vuông góc AC tại K.

a/ Chứng minh : BH = CK.

b/ Chứng minh AHIK nội tiếp đường tròn và tÌm tâm đườn tròn đó