Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình vô tỷ

Các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình vô tỷ gồm 15 trang bao gồm các kiến thức về phương pháp giải kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án kèm theo.

Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ được trình bày rất khoa học, logic giúp người học dễ hình dung và hiểu rõ kiến thức. Thông qua tài liệu này các bạn lớp 12 nhanh chóng nắm vững kiến thức để giải phương trình. Bên cạnh đó các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ

Phương pháp xét tổng và hiệu sử dụng cho các phương trình vô tỉ hoặc một phương trình có trong một hệ phương trình ờ dạng $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}=C$ . Điều kiện sử dụng ờ chỗ ta nhận thấy C là một nhân tử của (A-B).

Bài 1: $\sqrt{x^2+2 x}+\sqrt{2 x+1}=x+1$

Nhận thấy $A-B=\left(x^2+2 x\right)-(2 x+1)=x^2-1$ có một nhân tử là C=x+1

$\begin{aligned} & \sqrt{x^2+2 x}-\sqrt{2 x+1}=\frac{x^2+2 x-2 x-1}{\sqrt{x^2+2 x}+\sqrt{2 x+1}}=\frac{x^2-1}{x+1}=x-1 \\ & \rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x^2+2 x}-\sqrt{2 x+1}=x-1 \\ \sqrt{x^2+2 x}+\sqrt{2 x+1}=x+1 \end{array} \rightarrow 2 \sqrt{x^2+2 x}=2 x \rightarrow x=0\right. \\ & \end{aligned}$

Bài 2: $\sqrt{x^3+x^2+1}+\sqrt{x^2+2}=x^2+x+1$

Nhận thấy $A-B=\left(x^3+x^2+1\right)-\left(x^2+2\right)=x^2-1$ có một nhân tử là $C=x^2+x+1$

$\begin{aligned} & \sqrt{x^3+x^2+1}-\sqrt{x^2+2}=\frac{\left(x^3+x^2+1\right)-\left(x^2+2\right)}{\sqrt{x^3+x^2+1}+\sqrt{x^2+2}}=\frac{x^1-1}{x^2+x+1}=x-1 \\ & \rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x^3+x^2+1}+\sqrt{x^2+2}=x^2+x+1 \\ \sqrt{x^3+x^2+1}-\sqrt{x^2+2}=x-1 \end{array} \rightarrow 2 \sqrt{x^2+2}=\left(x^2+x+1\right)-(x-1)=x^2+2 \rightarrow x= \pm \sqrt{2}\right. \\ & \end{aligned}$

Thử lại nghiệm ta thấy chỉ có $x=\sqrt{2}$ thỏa mẫn nên phương trình có một nghiệm duy nhất là $x=\sqrt{2}$

Bài 3: $\sqrt{x+8 \sqrt{x}}+\sqrt{x+7 \sqrt{x}+1}=\sqrt[4]{x}+1$

Nhận thấy $A-B=(x+8 \sqrt{x})-(x+7 \sqrt{x}+1)=\sqrt{x}-1$ có một nhân tử là $C=\sqrt[4]{x}+1$

$\begin{aligned} & \sqrt{x+8 \sqrt{x}}-\sqrt{x+7 \sqrt{x}+1}=\frac{(x+8 \sqrt{x})-(x+7 \sqrt{x}+1)}{\sqrt{x+8 \sqrt{x}}+\sqrt{x+7 \sqrt{x}+1}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[4]{x}+1}=\sqrt[4]{x}-1 \\ & \left\{\begin{array}{l} \sqrt{x+8 \sqrt{x}}+\sqrt{x+7 \sqrt{x}+1}=\sqrt[4]{x}+1 \\ \sqrt{x+8 \sqrt{x}}-\sqrt{x+7 \sqrt{x}+1}=\sqrt[4]{x}-1 \end{array} \rightarrow 2 \sqrt{x+7 \sqrt{x}+1}=2 \rightarrow x+7 \sqrt{x}=0 \rightarrow x=0\right. \end{aligned}$

Bài 4;

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{y-3 x+4}+\sqrt{y+5 x+4}=4 \\ \sqrt{5 y+3}-\sqrt{7 x-2}=2 x-1-4 y\end{array}\right.$

Nhận thấy phương trình đầu có $A-B=(y-3 x+4)-(y+5 x+4)=-8 x$ có liên quan đến giá trị 4

$\begin{aligned} & \sqrt{y-3 x+4}-\sqrt{y+5 x+4}=\frac{(y-3 x+4)-(y+5 x+4)}{\sqrt{y-3 x+4}+\sqrt{y+5 x+4}}=\frac{-8 x}{4}=-2 x \\ & \rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sqrt{y-3 x+4}+\sqrt{y+5 x+4}=4 \\ \sqrt{y-3 x+4}-\sqrt{y+5 x+4}=-2 x \end{array} \rightarrow 2 \sqrt{y-3 x+4}=4-2 x \rightarrow \sqrt{y-3 x+4}=2-x \rightarrow y=x^2-x, x \leq 2 .\right. \end{aligned}$