Bài 1:

1) Tìm các số tự nhiên n để 7²⁰¹³ + 3ⁿ có chữ số hàng đơn vị là 8.

2) Cho a, b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn . Chứng minh p là hợp số.

Bài 2:

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x² − 3y² + 2xy − 2x + 6y − 8 = 0.

2) Giải hệ phương trình:

Bài 3:

Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + b + 4ab = 4a² + 4b². Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 20(a³ + b³) − 6(a² + b²) + 2013.

Bài 4:

Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc vói BC, AC, AB lần lượt tại M, N, P. Đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh rằng góc OEN và OCA bằng nhau hoặc bù nhau.

2) Bốn điểm B, C, E, F thuộc 1 đường tròn.

3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng.

Bài 5:

Trong mặt phẳng cho 6 điểm A₁, A₂,..., A₆ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.