Đáp án:

Giải thích các bước giải:

` @mikey`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Vì `AB` là tiếp tuyến của `(O)` nên `\hat{ABO}=90^o`

Xét `\DeltaAOB` vuông tại `B` có: `{(AB=sqrt{OA^2-OB^2}=sqrt{4R^2-R^2}=Rsqrt3),(sinBAO=(OB)/(OA)=R/(2R)=1/2),(hat{BOA}=90^o -\hat{BAO}):}`

`<=>{(AB=Rsqrt3),(\hat{BAO}=30),(\hat{BOA}=60^o):}`

Vậy `\DeltaAOB` có `\hat{ABO}=90^o;\hat{BAO}=30^o;\hat{BOA}=60^o` và `AB=Rsqrt3`

b)

Xét `\DeltaBOC` cân tại `O` (Vì `OB=OC`) có: `\hat{OBC}=\hat{OCB}`

Mà: `\hat{OBC}=\hat{BAO}` (Cùng phụ với `\hat{BOA}`)

Suy ra: `\hat{OCB}=\hat{BAO}`

`=>OBAC` nội tiếp

`=>\hat{ACO}=180^o -\hat{ABO}=180^o -90^o=90^o`

`=>AC` là tiếp tuyến của `(O)`

Vậy `AC` là tiếp tuyến của `(O)`

c)

Vì `K` là trung điểm dây `DE` nên `OK\botDE`

Dễ dàng suy ra: `\hat{OKA}=\hat{OCA}=90^o`

`=>OKCA` nội tiếp

`=>K` thuộc đường tròn ngoại tiếp `\DeltaOCA`

Mà: `B` thuộc đường tròn ngoại tiếp `\DeltaOCA` 

Do đó: `K,B,O,C,A` cùng thuộc một đường tròn

Vậy `A,B,O,K,C` cùng thuộc một đường tròn

d)

Xét `\DeltaBOI` cân tại `O` (Vì `OB=OI`) có: `\hat{BOI}=60^o` nên `\DeltaBOI` đều

Mà: `AH` là đường cao của `\DeltaBOI` nên `AH` đồng thời là đường phân giác của `\DeltaBOI`

`=>\hat{HBI}=1/2\hat{OBI}=1/2 .60^o=30^o` (`\hat{OBI}=60^o` vì `\DeltaBOI` đều)

Lại có: `\hat{IBC}=90^o -\hat{OBI}=90^o -60^o=30^o`

Do đó: `\hat{HBI}=\hat{IBC}`, hay: `BI` là phân giác của `\hat{ABH}`

Vì `A` là giao điểm của `2` tiếp tuyến `AB,AC` của `(O)` nên `AI` là phân giác của `\hat{BAC}`

Xét `\DeltaABC` có: `I` là giao điểm `2` đường phân giác `AI` và `BI`

Suy ra: `I` là giao điểm `3` đường phân giác của `\DeltaABC`, hay `I` là tâm đường tròn nội tiếp `\DeltaABC`

Vậy `I` là tâm đường tròn nội tiếp `\DeltaABC`

e)

Xét `\DeltaABO` vuông tại `B` có: `BH` là đường cao nên `{(BH.OA=OB.BA),(AB^2=AH.AO):}`

Hay: `{(BH=(OB.BA)/(OA)=(R.Rsqrt3)/(2R)=(Rsqrt3)/2),(AH=(AB^2)/(AO)=(Rsqrt3)^2/(2R)=3/2R):}`

Dễ thấy `BH=HC` (Vì `OH\botBC` trong `(O)`)

Suy ra: `S_(ABC)=1/2AH.BC=BH.AH=(Rsqrt3)/2 . 3/2R=(3R^2sqrt3)/4`

Vậy `S_(ABC)=(3R^2sqrt3)/4`