$\begin{array}{l} 2{\sin ^2}\dfrac{x}{2} + 3\sin x - 5m = 0\\  \Leftrightarrow 1-\cos x+ 3\sin x - 5m = 0\\  \Leftrightarrow 3\sin x - \cos x = 5m-1 \end{array}$

Để phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm thì $a^2+b^2\ge c^2$

Điều này tương đương với

$\begin{array}{l}
{3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {\left( {5m - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 9 + 1 \ge 25{m^2} - 10m + 1\\
 \Leftrightarrow 25{m^2} - 10m - 9 \le 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {10} }}{5} \le m \le \dfrac{{1 + \sqrt {10} }}{5}
\end{array}$

- Để sin(x) và cos(x) đều có giá trị không âm (hoặc không âm), ta cần xét các giá trị của x trong các khoảng sau đây: Khoảng 1: 0 ≤ x ≤ π/2 Trong khoảng này, sin(x) và cos(x) đều dương. Hệ số của sin(x) là dương, vì vậy để phương trình có nghiệm, ta cần một giá trị của m thỏa mãn: cos(x) - 5m + 1 ≥ 0 Khoảng 2: π/2 ≤ x ≤ π Trong khoảng này, sin(x) dương và cos(x) âm. Hệ số của sin(x) là âm, vì vậy để phương trình có nghiệm, ta cần: cos(x) - 5m + 1 ≤ 0 Kết luận: Để phương trình 2sin²(x/2) + 3sin(x) - 5m = 0 luôn có nghiệm, ta cần tìm m sao cho: - cos(x) - 5m + 1 ≥ 0 với 0 ≤ x ≤ π/2 hoặc - cos(x) - 5m + 1 ≤ 0 với π/2 ≤ x ≤ π 

By:itoshisae017