Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình lần lượt là \({\left( {x + 1}

* Hướng dẫn giải

a) Ta thấy đường tròn (C₁) có tâm I(-1; -2) và bán kinh R₁ = 3, đường tròn (C₂) có tâm I(2; 2) và bán kinh R₂​ = 2. Khi đó \(5 = {R_1} + {R_2} = {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2}}  = 5\)

=> (C₁) và (C₂) tiếp xúc nhau 

b) Ta có \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}}  = \left( {3;4} \right)\) gọi vecto chỉ phương của đường thẳng cần lập là \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \left( {\overrightarrow {{I_1}{I_2}} ;\overrightarrow u } \right) = \frac{{3a + 4b}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{9{a^2} + 24ab + 16{b^2}}}{{25{a^2} + 25{b^2}}}\\
 \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {a;b} \right) = \left( {7;1} \right) \Rightarrow 7x + y = 0\\
\left( {a;b} \right) = \left( {1; - 7} \right) \Rightarrow x - 7y = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

c) Ta có: 

\(16{x^2} + 49{y^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^2}}} = 1 \Rightarrow \) độ dài trục lớn của (E) là \(2a = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy bán kính đường tròn (C) cần lập là R = 1

Khi đó xét tam giác II₁I₂ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
I{I_1} = {R_1} + R = 3 + 1 = 4\\
I{I_2} = {R_2} + R = 2 + 1 = 3
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta I{I_1}{I_2}\) vuông tại I

Gọi I(a; b) ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {I{I_1}} \overrightarrow {I{I_2}}  = 0\\
I{I_2} = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right) = 0\\
{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} - a - 6 = 0\\
{a^2} + {b^2} - 4a - 4b - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + 4b = 5\\
{a^2} + {b^2} - a - 6 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = \frac{{5 - 3a}}{4}\\
25{a^2} - 46a - 71 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
I\left( {\frac{{71}}{{25}};\frac{{ - 22}}{{25}}} \right)\left( {tm} \right)\\
I\left( { - 1;2} \right) \equiv {I_1}\left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình đường tròn cần lập là: \(\left( C \right):{\left( {x - \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 1\)