Hai phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Leftrightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) gọi là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).

Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Rightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

1.2. Phương trình bậc nhất

\(ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hệ số		Kết luận
\(a \ne 0\)		\(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \frac{b}{a}\)
\(a = 0\)	\(b \ne 0\)	\(\left( 1 \right)\) vô nghiệm
	\(b = 0\)	\(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

Khi \(a \ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

1.3. Phương trình bậc hai

\(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac\)	Kết luận
\(\Delta > 0\)	\(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,\,\,2}} = \frac{{ - \,b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
\(\Delta = 0\)	\(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
\(\Delta < 0\)	\(\left( 2 \right)\) vô nghiệm

1.4. Định lí Vi -ét

Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì

\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)

Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u + v = S\) và tích \(uv = P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình

\({x^2} - Sx + P = 0.\)

1.5. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Định nghĩa và tính chất

\(\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A & khi\,\,A \ge 0\\
- A & khi\,\,A < 0
\end{array} \right.\\
\left| A \right| \ge 0,\,\,\forall A\\
\left| {A.B} \right| = \left| A \right|.\left| B \right|\\
{\left| A \right|^2} = {A^2}\\
\left| {A + B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0\\
\left| {A + B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A - B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A - B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0
\end{array}\)

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ

1.6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách

– Nâng luỹ thừa hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 1: \(\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\
g(x) \ge 0
\end{array} \right.\)

Dạng 2: \(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) \ge 0\,\,(hay\,\,g(x) \ge 0)
\end{array} \right.\)

Dạng 3: \(af(x) + b\sqrt {f(x)} + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \sqrt {f(x)} ,\,\,t \ge 0\\
a{t^2} + bt + c = 0
\end{array} \right.\)

Dạng 4: \(\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = h(x)\)

· Đặt \(u = \sqrt {f(x)} ,\,\,v = g(x)\) với \(u,v \ge 0\)

· Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Dạng 5: \(\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} + \sqrt {f(x).g(x)} = h(x)\)

Đặt \(t = \sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} ,\,\,t \ge 0\)

C. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1.7. Hệ hai hương trình bậc nhất hai ẩn

Xét định thức		Kết quả
\(D \ne 0\)		Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)
D=0	\(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\)	Hệ vô nghiệm
	\(D_x=D_y\)	Hệ có vô số nghiệm

1.8. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 1: Giải các phương trình

a) \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a) \sqrt {2x - 3} = x - 3\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ge 0\\
2x - 3 = {\left( {x - 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 8x + 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x = 6 \vee x = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6

\(\begin{array}{l}
b)\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - x \ge 0\\
{x^2} + 2x + 4 = 2 - x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
{x^2} + 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x = - 1 \vee x = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = - 1 \vee x = - 2
\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1 và x = -2

Ví dụ 2: Giải các phương trình

a) \(1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\)

b) \(\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện \(x \ne 2,x \ne - 3\)

\(\begin{array}{l}
1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{50}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {x - 2} \right) + 50\\
\Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10(n)\\
x = - 3(l)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 10

\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x - 5 = 4x - 17,{x^2} - 4x - 5 \ge 0\\
- {x^2} + 4x + 5 = 4x - 17,{x^2} - 4x - 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 8x + 12 = 0,{x^2} - 4x - 5 \ge 0\\
- {x^2} + 22 = 0,{x^2} - 4x - 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2(l)\\
x = 6(n)
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {22} (n)\\
x = - \sqrt {22} (l)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và \(x = \sqrt {22} \)

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình

\(a) \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\)

\(b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - z = 1\\
2x - y + 2z = 5\\
x - 2y - 3z = 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x + 4y = 44\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x = 52\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
20 - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm (4;3)

\(\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - z = 1\\
2x - y + 2z = 5\\
x - 2y - 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
2x - \left( { - 3x + z + 1} \right) + 2z = 5\\
x - 2\left( { - 3x + z + 1} \right) - 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
5x + z = 6\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
25x + 5z = 30\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
32x = 32\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1\\
z = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1;1)

3. Luyện tập Bài 4 chương 3 đại số 10

Bài ôn tập chương 3 sẽ giúp các em có cái nhìn khái quát về nội dung phần Phương trình - hệ phương trình đã được học. Đây là những kiến thức mang tính chất hỗ trợ trong suốt chương trình Toán THPT các khối lớp. Vì vậy yêu cầu đặt ra các em cần ghi nhớ được các định nghĩa, các cách giải phương trình và hệ phương trình để vận dụng sau này.

3.1. Trắc nghiệm về phương trình - hệ phương trình

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Ôn tập chương III để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 6- Câu 14: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online

3.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về phương trình - hệ phương trình

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 10 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 11 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 1 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 13 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 3.39 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.40 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.41 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.42 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.43 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.44 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.45 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.46 trang 77 SBT Toán 10

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 3 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.

Nguồn : ADMIN :))

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ