Bài 86 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

 Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

a) 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5x + 6 < 0 \hfill \cr
ax + 4 < 0 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr
{x^2} - 2ax + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3

Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình: ax < -4

+ Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là \(x <  - {4 \over a}\)

Vì \( - {4 \over a} < 0\) nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là \(x >  - {4 \over a}\)

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 

\(\left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
- {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a < - {4 \over 3}\)

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(a <  - {4 \over a}\)

b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1

Xét bất phương trình thứ hai của hệ:

Ta có: Δ’= a² – 1

Nếu Δ’= 0 ⇔ a = ± 1

+ Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1

Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Với a = -1, nghiệm của bất phương trình là x = -1

Nếu Δ’ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.

Do đó, hệ vô nghiệm.

Nếu Δ’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Nghiệm của bất phương trình này là: x₁ ≤ 1  ≤ x₂  (giả sử x₁ < x₂)

Theo định lý Vi-ét, ta có: x₁x₂ = 1 và x₁ + x₂ = 2a

+ Nếu a < -1 thì cả hai nghiệm x₁ và  x₂ đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.

+ Nếu a > 1 thì hai nghiệm x₁ và x₂ đều dương. Ngoài ra vì x₁x₂ = 1 và x₁ ≠ x₂ nên x₁ < 1 < x₂.

Do đó, hệ có nghiệm.