Lý thuyết về tích vô hướng của 2 vectơ và các dạng bài tập

Lý thuyết về tích vô hướng của 2 vectơ và các dạng bài tập

Trong toán học, chắc hẳn các bạn đã từng nghe qua khái niệm vecto rồi đúng không. Vecto không chỉ quan trọng trong toán học đại số mà còn là một đại lượng quan trọng trong toán hình học và Vật lý học. Theo dõi bài viết để biết thêm về tích vô hướng của 2 vectơ!

I. Định nghĩa về Vectơ

    1. Vectơ là gì?

Đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là \( {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\). Véctơ được ký hiệu là  \( {\displaystyle{\overrightarrow {AB}}}\) hoặc \(\ {\displaystyle {\vec {a}}}, {\displaystyle {\vec {b}}}, {\displaystyle {\vec {u}}}, {\displaystyle {\vec {v}}}\).

Vecto 0 là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Xem ngay:

• Những lỗi dễ mắc phải khi làm bài thi trắc nghiệm
• Đáp án đề thi môn Toán THPT Quốc gia 2019 cập nhật nhanh nhất

    2. Hai vecto cùng phương cùng hướng

Hai vectơ nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau thì cùng phương.
Hai vectơ cùng phương và cùng chiều là hai vecto cùng hướng.
Hai vectơ cùng hướng hoặc ngược hướng thì chắc chắn cùng phương.

II. Công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ

• Tích vô hướng của 1 vecto với 1 số bất kỳ

Tích của vectơ\( {\displaystyle {\vec {a}}}\) với một số thực\( {\displaystyle r\in \mathbb {R} }\) là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của \({\displaystyle {\vec {a}}}\), cùng chiều nếu \({\displaystyle r>\ 0}\) và ngược chiều nếu \({\displaystyle r<\ 0}\), có độ dài bằng \({\displaystyle |r||{\vec {a}}|}\).

Tính chất:

- \({\displaystyle k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}}\)

- \({\displaystyle (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}}\)

- \({\displaystyle h(k{\vec {a}})=(hk){\vec {a}}}\)

- \({\displaystyle 1.{\vec {a}}={\vec {a}},(-1).{\vec {a}}=-{\vec {a}}}\)

• Tích vô hướng của 2 vecto

Tích vô hướng của hai vecto \({\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}})}\) được tính bằng công thức sau:

\({\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \alpha }\)

Tính chất:

- Tính chất giao hoán \({\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}={\vec {b}}.{\vec {a}}}\)

- Tính chất phân phối \({\displaystyle {\vec {a}}.({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}.{\vec {b}}+{\vec {a}}.{\vec {c}}}\)

- \({\displaystyle (k{\vec {a}}).{\vec {b}}=k({\vec {a}}.{\vec {b}})={\vec {a}}(k{\vec {b}})}\)

- \({\displaystyle {\vec {a}}^{2}\geq 0,{\vec {a}}^{2}=0\Leftrightarrow {\vec {a}}=0}\)

Mở rộng:

- \({\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}\)

- \({\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}-2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}\)

- \({\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}}).({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}}\)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

- \({\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}}\)

- Hai vectơ \({\displaystyle {\vec {a}}}=({\displaystyle a_{1};a_{2})}, {\displaystyle {\vec {b}}}=({\displaystyle b_{1};b_{2})}\) đều khác \({\displaystyle {\vec {0}}}\) và vuông góc với nhau khi và chỉ khi \({\displaystyle a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}=0}\)

III. Các dạng bài tập tích vô hướng của 2 vectơ

Dạng 1: Tích vô hướng của hai vecto. Góc giữa hai vecto cho trước

Cách làm: Đưa hai vecto về chung một gốc bằng cách sử dụng vecto cùng phương. Xác định chính xác góc giữa hai vecto \(\alpha =(\vec a; \vec b)\) sau đó áp dụng công thức tính tích vô hướng như sau: \({\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \alpha }\)

Bài tập: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính?

a) \(​​​​​​\vec{AB}.\vec{AC}\)

b) \(​​​​​​\vec{AH}.\vec{AC}\)

c) \(​​​​​​\vec{AB}.(\vec{AB}+​​​​​​\vec{AC})\)

Dạng 2: Chứng minh vuông góc:

Phương pháp: Ta có thể chứng minh theo hai hướng sau:

+ Hướng 1: Dùng tính chất tích vô hướng:

\(\vec a⊥\vec b \Leftrightarrow \vec a. \vec b=0 \Leftrightarrow |\vec a|.|\vec b|.cos(\vec a. \vec b)=0 \)

Suy ra: \(\vec a= 0\\ \vec b = 0\\ cos(\vec a.\vec b)=0\)

+ Hướng 2: 

Dùng tọa độ: \(\vec a⊥ \vec b⇔ \vec a.\vec b =0 ⇔a_1 b_1 .a_2 b_2=0\)

Bài tập: Chứng minh hai đường chéo của một hình thoi ABCD vuông góc với nhau?

Dạng 3: Chứng minh một bất đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài.

Hướng giải: 

Sử dụng tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng.

Với các biểu thức về tích vô hướng, ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của tích vô hướng. Cần đặt biệt lưu ý phép phân tích vectơ để biếnđổi +, –, quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành,...

Mới nhất: Bài 3. Tích của vectơ với một số

Với những kiến thức tổng hợp và bài tập về tích vô hướng của 2 vectơ trên hy vọng rằng nó đã giúp bạn giải đáp phần nào cách làm dạng bài này. Chúc các bạn học tốt!