Lý thuyết bất đẳng thức chính xác nhất

Để tìm hiểu chính xác nhất về bất đẳng thức thì hãy cùng với đi vào tìm hiểu khái niệm cơ bản bất đẳng thức là gì, các bất đẳng thức thường gặp (các bất đẳng thức cơ bản) và bài tập bất đẳng thức ngay thôi.

I) Khái quát

1) Thế nào là số thực dương, số thực âm

a) Số thực dương

- x là số thực dương, kí hiệu \(x > 0\)

- x là số thực dương hoặc bằng 0, ta nói rằng x là số thực không âm và được kí hiệu \(x \geq 0\)

b) Số thực âm

- x là số thực âm, kí hiệu \(x < 0\)

- x là số thực âm hoặc bằng 0, ta nói rằng x là số thực không âm và được kí hiệu \(x \leq 0\)

♦ Lưu ý: Với 2 số thực x, y có 1 hoặc 3 khả năng xảy ra như sau:

- \(x > y\) hoặc x

- Phủ định của \(x > 0\) là \(x \leq 0\)

- Phủ định của mệnh đề x.

c) Tính chất

- Đẳng thức xảy ra khi \(x = 0\):

 \(\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0\)

\(x^ {2k} \geq 0, k\in\mathbb{N}, x \in \mathbb{R}\)

- Đẳng thức xảy ra khi \(x_1 = x_2 = ... = x_n = 0\)

\(x_1^ {2k} + x_2^ {2k} + x_3^ {2k} + ... + x_n^ {2k}\geq 0, k\in\mathbb{N}, x \in \mathbb{R}\)

2) Định nghĩa bất đẳng thức là gì?

a) Định nghĩa

- Số thực x lớn hơn số thực y, kí hiệu \(x > y\) nếu x-y là 1 số dương, tức là \(x - y >0\). Và ngược lại ta cũng có kí hiệu \(b <x\)

- Ta có:

• \(x > y \Leftrightarrow x - y >0\)
• \(x \geq y \Leftrightarrow x - y \geq 0\)

b) Tính chất

- Nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều

\(x > y > 0\); \(z>m>0\) \(\Rightarrow xz > ym\)

- Nghịch đảo hai vế

\(a > b > 0 \Leftrightarrow 0 <\dfrac {1} {x} < \dfrac {1}{y}\)

- Nâng lũy thừa bậc n

\(x> y > 0, n \in \mathbb{N^*} \Rightarrow x^n > y^n\)

- Khai căn bậc n

\(x> y > 0, n \in \mathbb{N^*} \Rightarrow \sqrt[n]{x}>\sqrt[n]{y}\)

c) Hệ quả: Bình phương hai vế

- x, y là số dương

\(x > y \Leftrightarrow x^2 > y^2\)

- x, y là số âm

\(x \geq y \Leftrightarrow x^2 \geq y^2\)

II) Các bất đẳng thức thường gặp (các bất đẳng thức cơ bản)

Dưới đây là bảng mà tổng hợp về các bất đẳng thức thường gặp (hay các bất đẳng thức cơ bản) mà bạn cần biết.

(Bảng các bất đẳng thức thường gặp)

III) Bất đẳng thức đặc biệt

1) Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối

- Tính chất: \(\left | x \right |\geq 0, \left | x^2 \right | = x^2, x \leq \left | x \right |, -x \leq \left | x \right |\)

- Ta có các bất đẳng thức sau với mọi \(x, y \in \mathbb{R}\):

• \(\left | x + y \right |\leq \left | x \right | + \left | y \right |\)
• \(\left | x - y \right |\leq \left | x \right | + \left | y \right |\)
• \(\left | x + y \right | = \left | x \right | + \left | y \right | \Leftrightarrow x.y \geq 0\)
• \(\left | x - y \right | = \left | x \right | + \left | y \right | \Leftrightarrow x.y \leq 0\)

2) Bất đẳng thức trong tam giác

Cho một tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là x,y,z thì:

• \(x>0, y>0,z>0\)
• \(\left | y-z \right |<x<y+z\)
• \(\left | z - x \right |<y<z+x\)
• \(\left | x - y \right |<z<x+y\)
• \(x>y>z \Leftrightarrow A>B>>C\)

IV) Luyện tập

Trong phần lyện tập, sẽ đưa ra một số bài tập bất đẳng thức để bạn có thể ôn luyện lại và vận dụng.

Bài tập 1: Cho \(a,b,c,d,e \in R\). CMR: \(a^2 + b^2 + c^2 \geq 2(ab + bc - ca)\)

Bài tập 2: Cho \(a,b,c,d,e \in R\). CMR: \(a^2 (1 + b^2) + b^2 (1+c^2) + c^2(1+a^2) \geq 6abc\)

Bài tập 3: Cho \(a,b, c \in R\). CMR: \(a^4 + 3 \geq 4a\)

Xem thêm >>>Hướng dẫn bài tập SGK

Trên đây là những kiến thức lý thuyết mà đã tổng hợp được, hy vọng bài viết sẽ giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập bài bất đẳng thức. Hãy để lại commnet ý kiến thắc mắc và đáp án bài tập bất đẳng thức ở phía dưới nhé!