Xét hàm số liên tục trên một tập - Ôn tập Toán lớp 11 - thuviensachvn.com

Xét hàm số liên tục trên một tập

Ôn tập Toán lớp 11

Xét hàm số liên tục trên một tập là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11.

Tài liệu bao gồm toàn bộ kiến thức về phương pháp, ví dụ xét hàm số liên tục trên một tập và các bài tập kèm theo. Hi vọng thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi củng cố kiến thức để nhanh chóng giải được các bài toán 11. Chúc các bạn học tốt.

I. Phương pháp xét hàm số liên tục trên một tập

Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lượng giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của khoảng đó.

II. Ví dụ xét hàm số liên tục trên một tập

1. Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}  \frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}&\text{   x<2}  \\
	   2-x&\text{                x}\ge \text{2}  \\
	\end{matrix} \right. trên \mathbb{R}

Lời giải:

  • Tập xác định D = \mathbb{R}
  • Với x<2\Rightarrow f(x)=\frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}\Rightarrow Hàm số liên tục.
  • Với x>2\Rightarrow f(x)=2-x\Rightarrow Hàm số liên tục.
  • Tại x = 2 ta có: f(2)=0

\begin{align}

 \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(2-x)=0 \\



\end{align}

\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)(x-3)}{2(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)} \\

=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{2({{x}^{2}}+2x+4)}=\frac{-1}{24}\ne f(2) \\

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 2

2. Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số y=f(x)=\tan 2x+\cos x trên toàn trục số

Lời giải:

  • Tập xác định: D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \right\}

Vậy hàm số liên tục trên D

3. Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số y=f(x)=\frac{\sqrt{x-1}+2}{{{x}^{2}}-3x+2}

Lời giải:

Điều kiện xác định: \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0 \\ x^{2} -3x+2\neq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>1 \\ x\neq 2 \end{matrix}\right.

Vậy hàm số liên tục trên khoảng (1,2)\cup (2,+\infty )

4. Ví dụ 4: Xác định tính liên tục của hàm số sau trên \mathbb{R}:

y=f(x)=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-x-6}

Lời giải:

  • Tập xác đinh: D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3,-2 \right\}

Vậy hàm số liên tục tại mọi x thuộc D và gián đoạn tại điểm x = -2, x = 3

5. Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}

 \frac{2-7x+5{{x}^{2}}}{x-1} & \text{ khi x }>1 \\

-1 & \text{ khi }x\le 1 \\

 \end{array} \right.

Lời giải:

  • Tập xác định: D=R
  • Nếu x>1 thì hàm số f(x)=\frac{2-7 x+5 x^{2}}{x-1} do đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là (-\infty ,1)\cup (1,+\infty )

Vậy nó liên tục trên khoảng (1 ;+\infty)

  • Nếu x<1 thì hàm số f(x)=1. Đây là hàm đa thức có tập xác định là R. Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-\infty ; 1)
  • Nếu x = 1,f(1)=-1

\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2-7 x+5 x^{2}}{x^{2}+x-2}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)(5 x-2)}{(x-1)}

=\lim _{x \rightarrow 1}(5 x-2)=3

\lim_{{x \rightarrow 1^{-}}}  f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}-1=-1

Do: \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1) nên hàm số \mathrm{f}(\mathrm{x}) gián đoạn tại x_{0}=1

Vây hàm số f(x) liên tục trên (-\infty ;1)\cup (1;+\infty ) và gián đoạn tại x = 1.

III. Bài tập xét hàm số liên tục trên một tập

Định tính liên tục của hàm số dưới đây trên tập xác định của chúng:

1. f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x-5}{x^{2}-25} \quad &\text { khi } x>5 \\ (x-5)^{2}+\frac{1}{10} &\text { khi } x \leq 5\end{array}\right.

2. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} & \text { khi } x<1 \\ -2 x & \text { khi } x \geq 1\end{array}\right.

3. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-1}{x-1} & \text { khi } x<1 \\ -2 x & \text { khi } x \geq 1\end{array}\right.

4. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x & \text { khi } x \leq 3 \\ \frac{x^{2}-2 x-3}{2 x-6} & \text { khi } x>3\end{array}\right.

5.f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-3 x+4 & \text { khi } x<2 \\ 5 & \text { khi } x=2 \\ 2 x+1 & \text { khi } x>2\end{array}\right.

6. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-\cos x & \text { khi } x \leq 0 \\ \sqrt{x+1} & \text { khi } x>0\end{array}\right.

7. y=f(x)=\sqrt{3{{x}^{2}}-1} trên \mathbb{R}

8. y=f(x)=2\sin x+3\tan 2x trên R

Ngoài ra các bạn tham khảo thêm một số tài liệu khác như:

Liên kết tải về

pdf Xét hàm số liên tục trên một tập

Chủ đề liên quan

Học tập

Lớp 11

Toán 11

Chia sẻ

Chia sẻ qua Facebook Chia sẻ

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK